terça-feira, 23 de abril de 2013

Cursos do Blog - Mecânica

10ª aula
Gráficos do MU e do MUV

Borges e Nicolau

Gráficos do Movimento Uniforme

Função horária dos espaços (função do primeiro grau em t).

Gráfico s x t: reta inclinada em relação aos eixos. Espaço s cresce com o tempo: velocidade escalar positiva. Espaço s decresce com o tempo: velocidade escalar negativa.


Função horária da velocidade escalar (função constante e não nula).

Gráfico v x t: reta paralela ao eixo dos tempos.


Função horária da aceleração (função constante e nula).

Gráfico α x t: reta coincidente com o eixo dos tempos.


Gráficos do Movimento Uniformemente Variado

Função horária dos espaços (função do segundo grau em t).

Gráfico s x t: parábola com a concavidade para cima se a aceleração escalar for positiva e concavidade para baixo, se negativa.


Função horária da velocidade escalar (função do primeiro grau em t).

Gráfico v x t: reta inclinada em relação aos eixos. A velocidade escalar v cresce com o tempo: aceleração escalar positiva. A velocidade escalar decresce com o tempo: aceleração escalar negativa.


Função horária da aceleração escalar (função constante e não nula).

Gráfico α x t: reta paralela ao eixo dos tempos.


Propriedades

No gráfico s x t a velocidade escalar é numericamente igual à tg θ
  

Observação: ao calcular a tg θ utilize os valores marcados nos eixos de acordo com as escalas adotadas.

Resumindo:


No gráfico v x t a aceleração escalar é numericamente igual à tg θ.


Observação: ao calcular a tg θ utilize os valores marcados nos eixos de acordo com as escalas adotadas.

Resumindo:


No gráfico α x t a variação de velocidade de t1 a t2 é numericamente igual à área A.


Observação: ao calcular a área utilize os valores marcados nos eixos de acordo com as escalas adotadas.

Resumindo:


No gráfico v x t a variação de espaço de t1 a t2 é numericamente igual à área A.


Observação: ao calcular a área utilize os valores marcados nos eixos de acordo com as escalas adotadas.

Resumindo:


Resumo geral:


Animação:
Gráficos de Cinemática
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Exercícios básicos

Exercício 1:
Um ciclista realiza um movimento uniforme e seu espaço s varia com o tempo conforme indica o gráfico. Determine o espaço inicial s0 e a velocidade escalar v.


Resolução: 

O espaço inicial é o espaço do móvel no instante t = 0. Do gráfico, vem:
s0 = -10 m

v = Δs/Δt = (20-0)/(6-2) => v = 5 m/s

Respostas: -10 m e 5 m/s

Exercício 2: 
Um motociclista realiza um movimento uniforme e seu espaço varia com o tempo conforme indica o gráfico. Qual é a função horária dos espaços do motociclista?


Resolução: 

s0 = 100 m
De v =
Δs/Δt = (0-100)/(10-0) => v = -10 m/s
0
De s = s0 + v.t, vem: s = 100 - 10.t (s em metros e t em segundos)
 
Resposta: s = 100 - 10.t (s em metros e t em segundos) 

Exercício 3:
A velocidade escalar de um carro varia com o tempo conforme indica o gráfico.


a) Determine a aceleração do carro entre os instantes 0 e 10 s e entre 10 e 30 s.
b) Qual é a variação de espaço entre os instantes 0 e 30 s e qual é, neste intervalo, a velocidade escalar média?

Resolução:

a)

De 0 a 10 s
 
α = Δv/Δt = (30-0)/(10-0) => α = 3 m/s2

De 10 s a 30 s
 
α = Δv/Δt = (0-30)/(30-10) => α = -1,5 m/s2 

b)

Δs é numericamente igual à área do triângulo => Δs = (30.30)/2 =>
Δs = 450 m
vm = Δs/Δt = 450/30 => vm = 15 m/s
 
Respostas:
a) 3 m/s2 e -1,5 m/
s2
b) 450 m e 15 m/s

Exercício 4:
O trem do metrô  parte do repouso de uma estação A e realiza um movimento uniformemente variado durante 40 s, atingindo a velocidade de 72 km/h. Mantém esta velocidade por 5 minutos e, a seguir, freia uniformemente e após 20 s atinge a estação B. Qual é a distância, em km, entre as estações A e B? Sugestão: construa o gráfico v x t.

Resolução:  

Do gráfico v x t, por meio da área do trapézio calculamos a distância entre as estações.


Δs é numericamente igual à área do trapézio => Δs = [(360+300)/2].20 =>
Δs = 6600 m => Δs = 6,6 km

Resposta: 6,6 km

Exercício 5:
O espaço S de um móvel que realiza MUV, varia com o tempo conforme o gráfico:


Determine:

a) Em que instantes o móvel passa pela origem dos espaços;
b) Em que instante o móvel muda de sentido?
c) O espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração escalar.

Resolução: 

a) Do gráfico, para s = 0 , temos: t = 2 s e t = 10 s.
b) t = 6 s (corresponde ao vértice da parábola).
c) Para t = 0, temos:
s0 = -2 m
 
Propriedade da velocidade média:
vm = Δs/Δt = (v0+v)/2 => [1,6-(-2)]/(6-0) = (v0+0)/2 => v0 = 1,2 m/s

No MUV: α = αm. Logo:
α = Δv/Δt = (0-1,2)/(6-0) => α = -0,2 m/s2

Respostas:
a) t = 2 s e t =
10 s
b) t = 6 s

c) v0 = 1,2 m/s e α = -0,2 m/s2
Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(UFS-SE)
Um carrinho se desloca em trajetória retilínea. O gráfico representa a sua posição s em função do tempo t.



Analise as afirmações sobre o movimento do carrinho.


0 0 - O deslocamento entre os instantes 3,0 s e 8,0 s é de 21 m.
1 1 - A velocidade no instante 12 s é 5,0 m/s.
2 2 - A velocidade média de t = 0 a t = 15 s é 3,5 m/s.
3 3 - A aceleração no instante 7,0 s é nula.
4 4 - A aceleração média no intervalo de 7,0 s a 12 s é 0,60 m/
s2.

Resolução:

0 0 - Falsa.
No intervalo de tempo de 0 a 10 s o movimento é uniforme com velocidade escalar 20m/10s = 2,0 m/s. Portanto, no intervalo de tempo de 3,0 s a 8,0 s, isto é, em 5,0 s o carrinho se desloca 10 m.


1 1 - Verdadeira.
No intervalo de tempo de 10 s a 15 s o movimento é uniforme com velocidade escalar (45-20)m/(15-10)s = 5,0 m/s. Portanto, no instante 12 s a velocidade escalar do carrinho é de 5,0 m/s.


2 2 - Falsa.
A velocidade média de 0 a 15 s é
vm = (45-0)m/(15-0)s = 3,0 m/s.

3 3 - Verdadeira.
O movimento é uniforme no intervalo de tempo de 0 a 10 s. Logo a aceleração escalar no instante 7,0 s é nula.


4 4 - Verdadeira.

αm = Δv/Δt = (5,0-2,0)m/s/(12-7,0)s = 0,60 m/s2 

Revisão/Ex 2:
(FATEC-SP)
O jipe-robô Curiosity da NASA chegou a Marte, em agosto de 2012, carregando consigo câmaras de alta resolução e um sofisticado laboratório de análises clínicas para uma rotina de testes. Da Terra, uma equipe de testes comandava seus movimentos e lhe enviava as tarefas que deveria realizar. Imagine que, ao verem uma rocha de aspecto muito peculiar, os técnicos da NASA, no desejo de que a Curiosity a analisasse, determinaram uma trajetória reta que une o ponto de observação até a rocha e instruem o robô para iniciar seu deslocamento, que teve duração de uma hora. Nesse intervalo de tempo, o Curiosity desenvolveu as velocidades indicadas no gráfico.




O deslocamento total realizado pelo Curiosity do ponto de observação ao seu destino foi, em metros,

a) 9.         b) 6.         c) 4.         d) 2.         e)1.


Resolução:

No gráfico v x t a variação de espaço (deslocamento escalar) é numericamente igual à área entre os instantes 0 e 60 min.

Assim, temos: 

Δs = (20+15).15/2 + (15+10).5/2 + 10.10 + (10+7,5).5/2 +
(10+7,5).5/2 + (10+5).10/2 + 5.5/2
Δs = 262,5 + 62,5 + 100 + 43,75 + 43,75 + 75 + 12,5
Δs = 600 cm = 6,0 m

Resposta: B


Revisão/Ex 3:
(FGV-SP)
Um carro deslocou-se por uma trajetória retilínea e o gráfico qualitativo de sua velocidade (v), em função do tempo (t), está representado na figura.



Analisando o gráfico, conclui-se corretamente que


a) o carro deslocou-se em movimento uniforme nos trechos I e III, permanecendo em repouso no trecho II.
b) o carro deslocou-se em movimento uniformemente variado nos trechos I e III, e em movimento uniforme no trecho II.
c) o deslocamento do carro ocorreu com aceleração variável nos trechos I e III, permanecendo constante no trecho II.
d) a aceleração do carro aumentou no trecho I, permaneceu constante no trecho II e diminuiu no trecho III.
e) o movimento do carro foi progressivo e acelerado no trecho I, progressivo e uniforme no trecho II, mas foi retrógrado e retardado no trecho III.


Resolução:

Trecho I: movimento progressivo e uniformemente acelerado => 
v > 0 e α > 0.
Trecho II: movimento progressivo e uniforme => 

v = constante e não nula e α = 0.
Trecho III: movimento progressivo e uniformemente retardado => 

v > 0 e α < 0.

Resposta: B


Revisão/Ex 4:
(ENEM-MEC)
O gráfico abaixo modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo para ser adotada para o eixo das abcissas depende da maneira como essa pessoa se desloca.



Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km?

a) carroça - semana
b) carro - dia
c) caminhada - hora
d) bicicleta - minuto
e) avião - segundo


Resolução:

A velocidade escalar media média de uma pessoa, em uma caminhada, é da ordem de 5 km/h. Portanto, o gráfico pode referir-se à caminhada de uma pessoa, desde que a unidade de tempo seja hora.

Resposta: c


Revisão/Ex 5:
(ENEM-MEC)
Para melhorar a mobilidade urbana na rede metroviária é necessário minimizar o tempo entre estações. Para isso a administração do metrô de uma grande cidade adotou o seguinte procedimento entre duas estações: a locomotiva parte do repouso com aceleração constante por um terço do tempo de percurso, mantém a velocidade constante por outro terço e reduz sua velocidade com desaceleração constante no trecho final, até parar. Qual é o gráfico de posição (eixo vertical) em função do tempo (eixo horizontal) que representa o movimento desse trem?



Resolução:

Primeiro trecho: 
A locomotiva parte com aceleração constante. Assim, o movimento é uniformemente acelerado e a função horária do espaço é do segundo grau. O gráfico da posição x em função do tempo t é um arco de parábola com concavidade voltada para cima.

Segundo trecho: 
A velocidade escalar é constante e, portanto, o movimento é uniforme. A função horária do espaço é do primeiro grau e o gráfico posição x em função do tempo t é um segmento de reta oblíqua ascendente.

Terceiro trecho: 
A composição freia com aceleração de constante. Assim, o movimento é uniformemente retardado e a função horária do espaço é do segundo grau. O gráfico da posição x em função do tempo t é um arco de parábola com concavidade voltada para baixo. Após a parada, a posição x permanece constante e o o gráfico de x em função de t é retilíneo e paralelo ao eixo dos tempos.

Resposta: C

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