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Movimento Uniforme (II)

Borges e Nicolau

Quando resolvemos exercícios de Cinemática precisamos, muitas vezes, escrever as funções horárias dos móveis estudados. Algumas grandezas envolvidas são arbitrárias e dependem de nossa escolha.

Origem dos espaços

Ponto da trajetória a partir do qual medimos os comprimentos que indicam as posições dos móveis. Sua escolha é livre e uma vez fixada será referência para todos os móveis.

Origem dos tempos (t = 0)

Corresponde ao instante em que o cronômetro é disparado.

Orientação da trajetória

Definida a origem dos espaços deve ser escolhida a orientação da trajetória. Com isso ficam determinados os sinais das velocidades escalares. Os móveis que caminham no sentido da orientação da trajetória têm velocidade escalar positiva e os que caminham no sentido oposto, velocidade escalar negativa.

Funções horárias

Tomadas as providências acima, podemos escrever as funções horárias lembrando que no movimento uniforme são do tipo s = s0 + v.t, onde:

s0 = Espaço inicial. Espaço do móvel no instante t = 0.

v = velocidade escalar.

Exemplo:

Dois móveis, A e B, distam 400 km. Sabendo-se que partem no mesmo instante e caminham em sentidos opostos, depois de quanto tempo se encontrarão? O móvel A tem velocidade de módulo igual a 60 km/h e o móvel B, 40 km/h. A que distância do ponto de partida do móvel A ocorre o encontro entre os móveis?

Resolução:

Escolhemos a origem dos espaços no ponto de partida do móvel A.

Orientamos a trajetória de A para B. (Escolha arbitrária, poderíamos ter escolhido a origem no ponto de partida de B e orientado a trajetória

de B para A. O resultado seria o mesmo.)

O espaço inicial de A é igual a zero. s0A = 0.

O espaço inicial de B é igual a 400 km. s0B = 400 km.

A velocidade escalar de A é positiva. vA = 60 km/h.

A velocidade escalar de B é negativa. vB = -40 km/h.

Com esses dados escrevemos as funções horárias dos móveis A e B:

sA = s0A + vAt

sA = 0 + 60t

sB = s0B + vBt

sB = 400 – 40t

No instante do encontro os móveis têm espaços iguais.

sA = sB

60t = 400 – 40t

100t = 400

t = 4 h

Os móveis encontram-se 4 h após a partida.

Local do encontro:

Substituindo-se t = 4 h na função horária do móvel A, temos:

sA = 60.4

sA = 240 km

O encontro se dá a 240 km do ponto de partida do móvel A.

Velocidade escalar relativa

O instante do encontro poderia ser obtido por velocidade escalar relativa. Nesse caso o móvel B seria tomado com referencial e o módulo da velocidade escalar do móvel A, em relação a B, passaria a ser a soma dos módulos das velocidades dos móveis A e B, em relação ao solo.

Assim vrelat = (60 + 40) km/h, vrelat = 100 km/h.

vrelat = distância inicial entre os móveis/intervalo de tempo do encontro (t)

100 = 400/t

t = 4 h

Nota: Quando os móveis deslocam-se em sentidos opostos o módulo da velocidade escalar relativa é a soma dos módulos das velocidades escalares. Quando os móveis deslocam-se no mesmo sentido o módulo da velocidade escalar relativa é a diferença dos módulos das velocidades escalares.

Exercícios básicos

Exercício 1:

Dois automóveis, A e B, percorrem trajetórias retas e paralelas com velocidades de módulos 50 km/h e 80 km/h, em relação ao solo. Qual é o módulo da velocidade escalar do carro B, em relação ao carro A. Analise os casos:

a) A e B deslocam-se no mesmo sentido.

                                  A                                          B

b) A e B deslocam-se em sentidos opostos.

                                 A                                           B

Resolução:

a) vrel = vB - vA = 80 km/h - 50 km/h = 30 km/h

b) vrel = vB + vA = 80 km/h + 50 km/h = 130 km/h

Respostas:

a) 30 km/h

b) 130 km/h

Exercício 2:

Dois trens T1 e T2 percorrem trajetórias retas, paralelas e no mesmo sentido. O trem T1 tem comprimento igual a 300 m e velocidade constante de módulo 90 km/h. O trem T2 tem comprimento igual a 150 m e velocidade constante de módulo 72 km/h. Determine:

a) O intervalo de tempo necessário para que o trem T1 ultrapasse o trem T2.

b) A distância percorrida pelo trem T1 durante a ultrapassagem.

Resolução:

a) Vamos resolver este item por velocidade relativa. Em relação ao trem T2 o trem T1 possui velocidade: vrel = v1 - v2 = 90 km/h - 72 km/h = 18 km/h = 5 m/s.

Cada ponto do trem T1 percorre, em relação a T2, a distância de 450 m, durante a ultrapassagem:

Vrel = Δsrel/Δt => 5 = 450/Δt => Δt = 90 s.

b) Em 90 s o trem T1 percorre a distância: 

Δs1 = v1.Δt = (90/3,6).90 => Δs1 = 2250 m.

Respostas:

a) 90 s

b) 2250 m

Exercício 3:

Resolva o exercício anterior considerando que os trens se desloquem em sentidos contrários.

Resolução:

a) Vrel = v1 + v2 = 90 km/h + 72 km/h = 162 km/h = 45 m/s.
Vrel = Δsrel/Δt => 45 = 450/Δt => Δt = 10 s.

b) Em 10 s o trem T1 percorre a distância:
Δs1 = v1.Δt = (90/3,6).10 => Δs1 = 250 m. 

Respostas:

a) 10 s

b) 250 m

Exercício 4:

Dois carros, A e B, partem de São Paulo com destino a Mairiporã, desenvolvendo em todo trajeto movimentos uniformes de mesma velocidade de módulo 60 km/h. O carro A partiu 20 minutos antes do que o carro B. Um carro C parte de Mairiporã com destino a São Paulo, também realizando movimento uniforme. O carro C cruza com o carro A e 12 minutos depois cruza com o carro B. Determine o módulo da velocidade do carro C. 

Resolução: 

Quando o carro B parte, o carro A já percorreu 60 (km/h) x 1/3 (h) = 20 km. Como as velocidades de A e B são constantes e iguais esta distância permanece constante. A velocidade relativa do carro C, em relação aos carros A e B é (vC +60) km/h. Com essa velocidade o carro C percorre 20 km em 12 min = 1/5 (h).

Assim, temos:

vC + 60 = 20/(1/5) => vC + 60 = 100 => vC = 40 km/h

Resposta: 40 km/h

Exercício 5:

Dois estudantes Pedro e Raphael realizam uma experiência visando determinar, numa rodovia, a velocidade escalar de um carro que realiza um movimento retilíneo e uniforme.

Pedro está provido de um apito e Raphael de um cronômetro. Os estudantes ficam à distância D = 170 m e no instante em que o carro passa por Pedro ele aciona o apito. Ao ouvir o som do apito, Raphael dispara o cronômetro e o trava no instante que o carro passa por ele. O cronômetro registra 6,3 s. Qual é a velocidade do carro? Sabe-se que a velocidade do som é de 340 m/s.

Resolução:

Cálculo do Intervalo de tempo que o som demora para ir da posição onde está Pedro até a posição onde está Raphael:

vs = D/Δts => 340 = 170/Δts => Δts = 0,5 s

Cálculo do intervalo de tempo que o carro demora para ir da posição onde está Pedro até a posição onde está Raphael:

Δt = 6,3 s + 0,5 s 

Velocidade do carro:

v = D/Δt = 170 m/6,8 s = 25 m/s

Resposta: 25 m/s