Borges e Nicolau
Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).
Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).
α = αm = Δv/Δt ≠ 0
Função horária da velocidade escalar
Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0)
v = v0 + α.t
Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)
Função horária dos espaços
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2
Equação de Torricelli
v2 = v02 + 2.α.Δs
Demonstração:
Elevando-se ao quadrado ambos os membros de v = v0 + α.t, vem:
v2 = v02 + 2.v0.αt + α2.t2 => v2 = v02 + 2α[v0.t + (α.t2/2)] =>
v2 = v02 + 2.α.Δs
Animação:
Movimento Uniformemente Variado
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Propriedade do MUV
vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2
Demonstração:
s1 = s0 + v0.t1 + (α.t12)/2 (1)
s2 = s0 + v0.t2 + (α.t22)/2 (2)
(2) – (1):
s2 - s1 = v0(t2-t1) + [α.(t2-t1).(t2+t1)/2]
Δs/Δt = v0 + (α.t2+α.t1)/2 => Δs/Δt = (v0+α.t1+v0+α.t2)/2 =>
vm = (v1+v2)/2
Exercícios básicos
Exercício 1:
Uma moto parte do repouso de um ponto A cujo espaço é igual 10 m e descreve uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado. Após 10 s atinge o ponto B da trajetória com velocidade escalar 8 m/s.
Determine:
a) a aceleração escalar do movimento;
b) o espaço do motociclista ao passar pelo ponto B.
Resolução:
a) v = v0 + α.t => 8 = 0 + α.10 => α = 0,8 m/s2
b) s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 10 + 0 + 0,8.(10)2/2 => s = 50 m
Respostas: a) 0,8 m/s2 ; b) 50 m
Exercício 2:
Duas partículas, A e B, movem-se numa mesma trajetória. Suas funções horárias são respectivamente SA = -20 + 10t + t2 e SB = -28 + 16t, sendo SA e SB medidos em metros e t em segundos.
a) Em que instantes A e B se cruzam?
b) Os espaços das partículas nos instantes de cruzamento.
Resolução:
a) Instantes em que A e B se cruzam:
SA = SB => -20 + 10t + t2 = -28 + 16t => t2 - 6t + 8 = 0 => t = 2 s e t = 4 s
b) Espaços das partículas nos instantes de cruzamento:
SA = -20 + 10t + t2 => SA = -20 +10.2 + (2)2 => SA = 4 m
SA = -20 + 10t + t2 => SA = -20 +10.4 + (4)2 => SA = 36 m
Resposta: a) 2 s e 4 s ; b) 4 m e 36 m
Exercício 3:
A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a função:
v = 40 – 8t (SI), para t ≥ 0.
Determine:
a) Em que instante o móvel muda o sentido de seu movimento;
b) Entre que instantes o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e retardado.
Resolução:
a) O móvel muda o sentido de seu movimento no instante em que v = 0.
Portanto: 0 = 40 – 8t => t = 5 s
b) Movimento progressivo: v > 0 => 40 -8t > 0 => t < 5 s
Sendo α = -8 m/s2 < 0, concluímos que para t < 5 s o movimento é retardado
(v e α têm sinais opostos).
Movimento retrógrado: v < 0 => 40 -8t < 0 => t > 5 s
Sendo α = -8 m/s2 < 0, concluímos que para t > 5 s o movimento é acelerado
(v e α têm mesmo sinal).
Respostas:
a) 5 s
b) 0 ≤ t < 5 s: progressivo e retardado;
t > 5 s: retrógrado e acelerado
Exercício 4:
Um trem de comprimento 200 m atravessa um túnel de comprimento 100 m, em movimento uniformemente variado. O trem inicia a travessia com velocidade de 10 m/s. Determine a aceleração escalar do trem, sabendo-se que a travessia dura 20 s.
Resolução:
Cada ponto do trem percorre, durante a travessia, a distância de 300 m.
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => 300 = 0 + 10.20 + (α/2).(20)2 => α = 0,5 m/s2
Resposta: 0,5 m/s2
Exercício 5:
Trens rápidos
Os trens de grande velocidade levam vantagem em relação aos aviões nos percursos entre grandes cidades.
Entre São Paulo e Rio de Janeiro há estudos, em fase final, para a implantação de uma linha rápida, que fará a viagem em cerca de duas hora e meia. De centro a centro.
De avião, a viagem propriamente dita dura por volta de 40 minutos, mas computando-se os tempos dos deslocamentos até os aeroportos e a espera pelo embarque, a viagem de trem torna-se competitiva, além do fato de a passagem ferroviária custar menos.
Partindo do repouso um trem de grande velocidade sai de São Paulo acelerando à razão de 8 m/s2, até atingir a velocidade de 60 m/s, que será mantida constante por 110 minutos, para depois iniciar a desaceleração.
Determine:
a) O intervalo de tempo despendido e a distância percorrida pelo trem desde a partida até atingir a velocidade de 60 m/s.
b) A distância percorrida durante o intervalo de tempo em que a velocidade permanece constante? Dê a resposta em km.
Resolução:
a) v = v0 + α.t => 60 = 0 + 8.t => t = 7,5 s
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 0 + 0.7,5 + 8.(7,5)2/2 => s = 225 m
b) Sendo uniforme o movimento neste trecho, temos:
Δs = v.Δt => Δs = 60.110.60 => Δs = 396000 m => Δs = 396 km
Respostas: a) 7,5 s e 225 m; b) 396 km
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