segunda-feira, 2 de abril de 2012

Cursos do Blog - Mecânica

Movimento uniformemente variado (MUV) (III)

Borges e Nicolau

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).

Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).

α = αm = Δv/Δt 0

Função horária da velocidade escalar

Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0)

v = v0 + α.t

Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)

Função horária dos espaços

s = s0 + v0.t + (α.t2)/2

Equação de Torricelli

v2 = v02 + 2.α.Δs

Propriedade do MUV

vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2

Exercícios básicos

Exercício 1:
Duas motos, A e B, passam pelo marco quilométrico (km 50) de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 36 km/h e 72 km/h e acelerações escalares constantes e iguais a 0,4 m/s2 e 0,2 m/s2, respectivamente.

a) Depois de quanto tempo da passagem pelo km 50 as motos terão a mesma velocidade escalar?
b) Qual é a distância que as separa no instante calculado no item anterior?

Resolução:

a) De v = v0 + α.t, temos:
Moto A: vA = 10 + 0,4.t (SI)
Moto B: vB = 20 + 0,2.t (SI)
fazendo vA = vB, vem:
10 + 0,4.t = 20 + 0,2.t => t = 50 s

b) De s = s0 + v0.t + (α.t2)/2, temos:
Moto A: sA = s0 + 10.50 + [0,4.(50)2]/2 => sA = s0 + 1000
Moto B: sB = s0 + 20.50 + [0,2.(50)2]/2 => sB = s0 + 1250
Distância d entre as motos no instante t = 50 s:
d = sB - sA = 250 m.

Respostas:
a) 50 s
b) 250 m

Este texto refere-se aos exercícios 2 e 3.

Dois carros, A e B, passam pelo marco zero de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 10 m/s e 30 m/s e acelerações escalares constantes e iguais a 0,2 m/s2 e 0,1 m/s2, respectivamente.

Exercício 2:
Quanto tempo após a passagem pelo marco zero o carro B estará na frente do carro A?

a) 100 s b) 200 s c) 300 s d) 400 s e) 500 s

Resolução:

De s = s0 + v0.t + (α.t2)/2, temos:
Carro A: sA = 0 + 10.t + (0,2.t2)/2 => sA = 10.t + 0,1.t2
Carro B: sB = 0 + 30.t + (0,1.t2)/2 => sB = 30.t + 0,05.t2
O carro B estará na frente do carro A até o instante em que sA = sB:
10.t + 0,1.t2 = 30.t + 0,05.t2 => 0,05.t2 - 20.t = 0 =>
t = 0 (instante da partida) e t = 400 s. 

Resposta: d

Exercício 3:
Durante certo intervalo de tempo o carro B estará na frente de A. Qual é a máxima distância de B até A?

a) 1000 m b) 2000 m c) 3000 m d) 4000 m e) 5000 m

Resolução:

A máxima distância entre B e A ocorre no instante em que as velocidades se tornam iguais. A partir daí a distância do carro A ao carro B vai diminuindo até ocorrer a ultrapassagem:

De v = v0 + α.t, temos:
Carro A: vA = 10 + 0,2.t (SI)
Carro B: vB = 30 + 0,1.t (SI)
fazendo vA = vB, vem:
10 + 0,2.t = 30 + 0,1.t => t = 200 s

Carro A: sA = 10.t + 0,1.t2 => sA = 10.200 + 0,1.(200)2 => sA = 6000 m
Carro B: sB = 30.t + 0,05.t2 => sB = 30.200 + 0,05.(200)2 => sB = 8000 m 

Distância máxima entre B e A: 8000 m – 6000 m = 2000 m

Outra maneira de resolver exercício 3 é construir o gráfico v x t para os carros A e B. A área do triângulo indicado é numericamente igual à máxima distância entre B e A.


D = Área (numericamente) = base x altura/2 = (30-10) x 200/2 =>
D = 2000 m

Resposta: b

Exercício 4:
Um carro desloca-se numa avenida com velocidade de 36 km/h e quando se encontra a 55 m de um cruzamento o semáforo passa para o vermelho. O tempo de reação do motorista, isto é, o intervalo de tempo para acionar os freios é de   0,5 s. Para que o carro pare exatamente no cruzamento, qual é a aceleração escalar, suposta constante, que os freios comunicam ao veículo?

Resolução:

Durante o intervalo de tempo de reação o carro se desloca em movimento unforme com velocidade 36 km/h = 10 m/s. Neste intervalo de tempo ele percorre a distância: 10 (m/s) x 0,5 (s) = 5 m. Assim, ao acionar os freios o carro se encontra a 50 m do cruzamento. Pela equação de Torricelli, temos:

v2 = v02 + 2.Δs => 0 = (10)2 + 2.50 => α = -1 m/s2

Resposta: α = -1 m/s2

Exercício 5:
Duas motos, A e B, partem no mesmo instante de duas cidade vizinhas C e D, situadas a uma distância de 5 km. A moto A desloca-se de C para D e a moto B, de D para C. Os veículos realizam movimentos uniformemente variados e acelerados. As velocidades escalares iniciais de A e B são, em módulo, iguais a 5 m/s e 15 m/s e suas acelerações escalares são, em módulo, iguais a 0,4 m/s2 e 0,2 m/s2, respectivamente. Em que instante, após as partidas, as motos se cruzam?

Resolução:


De s = s0 + v0.t + (α.t2)/2, temos:
Moto A: sA = 0 + 5.t + (0,4.t2)/2 => sA = 5.t + 0,2.t2 (SI)
Moto B: sB = 5000 - 15.t - (0,2.t2)/2 => sB = 5000 - 15.t - 0,1.t2 (SI)
Instante em que as motos se cruzam: sA = sB:
5.t + 0,2.t2 = 5000 - 15.t - 0,1.t2
0,3.t2 +20.t - 5000 = 0 => raízes t = 100 s e t = -(500/3) s (esta raíz não serve pois as funções são válidas para t 0)

Resposta: t = 100 s

Nenhum comentário:

Postar um comentário