Desafio de Mestre (Especial)

Olá pessoal. Conforme combinado hoje estamos publicando as resoluções do Desafio de Mestre (Especial) e o nome do ganhador do livro. Com grande satisfação anunciamos que o vencedor foi o leitor Rangel. Na próxima vez poderá ser você, fique atento, sempre há novos desafios.

Borges e Nicolau

Bloco sobre bloco

Um pequeno bloco de massa m é lançado com velocidade v0 sobre um bloco de massa M = 2m. O coeficiente de atrito entre os blocos é μ e a aceleração da gravidade é g. Seja d a distância percorrida por "m" sobre "M". Prove que:

a) 

no caso em que o bloco maior está fixo no solo;

b)

     

no caso em que o bloco maior não está fixo no solo e não há atrito entre "M" e o solo.

Resolução 1:

a) Forças que agem em m:

Princípio Fundamental da Dinâmica:

FR = m.a => Fat = m.a => μ.m.g = ma =>

a = μ.g => α = -μ.g

Equação de Torricelli

v² = v0² - μ.g.Δs => 0 = v0² - 2 μ.g.d => d = v0²/(2μ.g)

b) “m” se desloca sobre “M” até adquirirem a mesma velocidade.

Conservação da quantidade de movimento:

Qinicial = Qfinal => m.v0 = (M + m).v =>

m.v0 = 3m.v => v = v0/3

Energia cinética inicial do sistema:

ECi = m.v0²/2 

Energia cinética final do sistema:

ECf  = [(M + m).v²]/2 = 3m.v²/2 =>

ECf = [3m.(v0/3)²]/2 => ECf = [m.v0²]/6

 

A diferença entre as energias cinéticas final e inicial é igual ao trabalho da força de atrito:

m.v0²/6 - m.v0²/2 = - μ.m.g.d => d = v0²/3.μ.g

Resolução 2 (ítem b):

Calculo da aceleração do bloco maior de massa M = 2m

Fat = M.a' => μ.m.g = 2m.a' => a' = μ.g/2

A aceleração do bloco menor, em relação ao bloco maior, tem módulo dado por:

arel = μ.g + μ.g/2 = 3μ.g/2

Aplicando a Equação de Torricelli no movimento do bloco menor em relação ao bloco maior, temos: 

v² = v0² - 2(3μ.g/2).d => d = v0²/3.μ.g

Resolução 3 (ítem b):

Equação de Torricelli para um ponto do bloco maior:

v² = v0² + 2a'.Δs => (v0/3)² = 2.(μ.g/2).L => L = v0²/9.μ.g

Equação de Torricelli para o bloco menor:

v² = v0² - 2a.Δs => (v0/3)² = (v0)² - 2.(μ.g).(L+d)

L + d = 4.v0²/9.μ.g => (v0²/9.μ.g)+d = 4.v0²/9.μ.g =>

d = v0²/3.μ.g