Movimentos Circulares (II)
Borges e Nicolau
Transmissão de movimento circular uniforme
A transmissão do movimento circular de uma polia para outra, pode ser feita de dois modos:
1) utilizando-se uma correia ou uma corrente;
2) estabelecendo-se um contato direto entre as polias.
Para não haver deslizamento ou escorregamento são usadas engrenagens cujos dentes se encaixam nos elos da corrente ou, no caso do contato, há uma adaptação dos dentes das engrenagens.
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Esquematicamente, temos:
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Não havendo escorregamento os pontos periféricos das polias têm a mesma velocidade linear. Assim, vem:
VA = VB
ωA.RA = ωB.RB
fA.RA = fB.RB
Movimento circular uniformemente variado
Conhecemos as equações lineares do movimento uniformemente variado:
S = S0 + v0.t + (1/2) α.t2
v = v0 + α.t
α = αm = Δv/Δt = constante e diferente de zero
v2 = v02 + 2.α.ΔS
v0 = velocidade inicial
α = aceleração escalar
As correspondentes equações angulares são obtidas lembrando que:
φ = S/R => ω = V/R e γ = Δω/Δt = α/R (aceleração angular)
Assim, temos:
φ = φ0 + ω0.t + (1/2).γ.t2
ω = ω0 + γ.t
ω2 = ω02 + 2.γ.Δφ
Exercícios básicos
Exercício 1:
Duas polias, 1 e 2, são ligadas por uma correia. A polia 1 possui
raio R1x=x20 cm, gira com frequência f1 = 30 rpm. A polia 2 possui raio
R2 = 15 cm, gira com frequência f2. Não há escorregamento da correia sobre as polias. Determine:
a) a frequência f2;
b) as velocidades lineares v1 e v2 dos pontos P1 e P2.
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a) f1.R1 = f2.R2 => 30.20 = f2.15 => f2 = 40 rpm
b) v1 = v2 = 2π.f1.R1 = (2π.30/60).20 => v1 = v2 = 20π cm/s
Respostas: a) 40 rpm; b) 20π cm/s
Exercício 2:
Duas polias, 1 e 2, giram ligadas ao eixo de um motor. A polia 1 possui
raio R1 = 20 cm, gira com velocidade angular ω1 = 12 rad/s. A polia 2
possui raio R2 = 15 cm. Determine:
a) a frequência f1 da polia 1;
b) a velocidade angular ω2 e a frequência f2 da polia 2;
c) as velocidade lineares v1 e v2 dos pontos P1 e P2.
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a) ω1 = 2π.f1 => 12 = 2π.f1 => f1 = 6/π Hz
b) Como as polias possuem mesmo eixo de rotação, resulta:
ω1 = ω2 = 12 rad/s
f2 = f1 = 6/π Hz
c)
v1 = ω1.R1 = 12.20 => v1 = 240 cm/s
v2 = ω2.R2 = 12.15 => v2 = 180 cm/s
Respostas:
a) 6/π Hz; b) 12 rad/s e 6/π Hz; c) 240 cm/s e 180 cm/s
Exercício 3:
Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As engrenagens C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotação.
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ωB.RB = ωA.RA => ωB.2R = 30.3R => ωB = 45 rad/s
ωC.RC = ωA.RA => ωC.R = 30.3R => ωC = 90 rad/s
Respostas:
ωB = 45 rad/s (sentido anti-horário)
ωC = 90 rad/s (sentido horário)
x
Exercício 4:
Uma partícula, partindo do repouso, realiza um movimento circular uniformemente variado de raio igual a 16 cm. Nos primeiros 4 s a partícula descreve um ângulo de π/2 rad. Determine:
a) a aceleração angular γ e a aceleração linear α.
b) o número de voltas que a partícula executa 40 s após a partida.
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a)
φ = φ0 + ω0.t + (1/2).γ.t2
π/2 = 0 + 0 +(1/2).γ.(4)2
γ = π/16 rad/s2
γ = α/R => π/16 = α/16 => α = π cm/s2
b)
φ = φ0 + ω0.t + (1/2).γ.t2
φ = 0 + 0 + (½).(π/16).(40)2
φ = 50π rad
Número de voltas: 50 π/2 π = 25 voltas
Respostas:
a) π/16 rad/s2; π cm/s2
b) 25 voltas
Exercício 5:
Um disco, partindo do repouso, realiza um movimento uniformemente variado e no instante em que completa 5 voltas, sua velocidade angular é de 6 rad/s. Calcule a aceleração angular do disco. Adote π = 3.
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ω2 = ω02 + 2.γ.Δφ
(6)2 = 0+2.γ.5.2π
(6)2 = 0+2.γ.5.2.3 => γ = 0,6 rad/s2
Resposta: 0,6 rad/s2
Exercícios de revisão
Revisão/Ex 1:
(FUVEST)
Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios r1 = 10 cm e r2 = 50 cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação f2 igual a 60 rpm:
a) Qual a frequência de rotação f1 do cilindro menor?
b) Qual a velocidade linear da cinta? Adote π = 3.
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a)
f1.r1 = f2.r2 => f1.10 = 50.60 => f1 = 300 rpm
b)
v = ω1.r1 = 2.π.f1.r1 => v = 2.3.(300/60).10 => v = 150 cm/s
Respostas:
a) 300 rpm b) 150 cm/s
Revisão/Ex 2:
(Uniube-MG)
Duas engrenagens de uma máquina estão acopladas segundo a figura. A frequência da engrenagem A é cinco vezes maior que a de B, portanto a relação entre os raios de A e B é:
a) 2.
b) 1.
c) 1/2.
d) 1/4.
e) 1/5.
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fA.RA = fB.RB => 5.fB.RA = fB.RB = RA/RB = 1/5
Resposta: e
Revisão/Ex 3:
(Mackenzie-SP)
Quatro polias, solidárias duas a duas (figura 1), podem ser acopladas por meio de uma única correia, conforme as possibilidades abaixo ilustradas (figura 2).
figura 1
Os raios das polias A, B, C e D são respectivamente, 4,0 cm, 6,0 cm, 8,0 cm e 10 cm. Sabendo que a frequência do eixo do conjunto CD é 4800 rpm, a maior frequência obtida para o eixo do conjunto AB, dentre as combinações citadas, é:
a) 400 Hz.
b) 200 Hz.
c) 160 Hz.
d) 133 Hz.
e) 107 Hz.
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A maior frequência obtida para o eixo do conjunto AB, corresponde ao menor raio do conjunto AB (4 cm) e o maior raio do conjunto CD (10 cm). Assim, temos:
fAB.4 = fCD.10 => fAB.4cm = (4800/60)Hz.10cm => fAB = 200 Hz
Resposta: b
Revisão/Ex 4:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Uma partícula inicialmente em repouso executa um movimento circular uniformemente variado ao longo de uma circunferência de raio R. Após uma volta completa, o módulo de sua velocidade é igual a v. Nesse instante, o módulo de sua aceleração vale:
a). v2/R
b) v2.√(2/R)
c). 4.v2/R
d). (v2/R).√(1+1/4π)
e). (v2/R).√(1+1/16π2)
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v2 = v02 + 2.α.ΔS => v2 = 2.α.2.π.R => α = v2/(R.4.π) =>
aT = v2/(R.4.π)
aCP = v2/R
a2 =(aCP)2 + (aT)2 => a = (v2/R).√(1+1/16π2)
Resposta: e
Revisão/Ex 5:
(UFPB)
Em uma bicicleta, a transmissão do movimento das pedaladas se faz através de uma corrente, acoplando um disco dentado dianteiro (coroa) a um disco dentado traseiro (catraca), sem que haja deslizamento entre a corrente e os discos. A catraca, por sua vez, é acoplada à roda traseira de modo que as velocidades angulares da catraca e da roda sejam as mesmas (ver a seguir figura representativa de uma bicicleta).
Em uma corrida de bicicleta, o ciclista desloca-se com velocidade escalar constante, mantendo um ritmo estável de pedaladas, capaz de imprimir no disco dianteiro uma velocidade angular de 4 rad/s, para uma configuração em que o raio da coroa é 4R, o raio da catraca é R e o raio da roda é 0,5 m. Com base no exposto, conclui-se que a velocidade escalar do ciclista é:
a) 2 m/s b) 4 m/s c) 8 m/s d) 12 m/s e) 16 m/s
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Transmissão de movimento circular entre coroa e catraca:
Mas sendo ωcatraca = ωroda = 16 rad/s, podemos calcular a velocidade escalar da bicicleta:
v = ωroda.Rroda => v = 16.0,5 => v = 8 m/s
Resposta: c
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