Cursos do Blog - Mecânica

18ª aula
Movimentos Circulares (I)

Borges e Nicolau

Movimento circular uniforme (MCU)

É um movimento que se realiza com velocidade escalar v constante e cuja trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.
No MCU a velocidade²vetorial tem módulo constante, mas varia em direção²e sentido. A aceleração do movimento é centrípeta, sendo seu módulo a_CP = v²/R, onde R é o raio da circunferência. A direção de a_CP é em cada ponto²perpendicular à velocidade vetorial v e aponta para o centro C da²circunferência.

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Período e Frequência

O MCU é um movimento periódico. O intervalo de tempo decorrido em cada volta completa, de um móvel que realiza MCU, chama-se período e é indicado por T.

Unidades: segundo (s), minuto (min), hora (h), etc.

Exemplo: um móvel em MCU possui período T = 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa uma volta.

O número de voltas na unidade de tempo, recebe o nome de frequência que é indicada por f.

No exemplo dado, se o móvel completa uma volta em 0,2 s, significa que em 1 s (uma unidade de tempo) ele completará 5 voltas.

Portanto, sua frequência é f = 5 voltas por segundo ou 5 hertz (Hz).

Em 1 minuto o móvel completará f = 5 x 60 rotações por minuto, isto é sua frequência é f = 300 rotações por minuto (rpm).

Unidades: hertz (Hz) (ciclos/segundo), rpm (rotações/minuto), etc.

Relações:

sssss

Equações do MCU

Sejam:

s = espaço linear

s₀ = espaço linear inicial

φ = espaço angular

φ₀ = espaço angular inicial

Δs = variação do espaço linear no intervalo de tempo Δt

Δφ = variação do espaço angular no intervalo de tempo Δt

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Velocidade linear:

v = Δs/Δt

Velocidade angular:

ω = Δφ/Δt

Relações:

xxxxxxxxxxxxxxxxxΔs = Δφ.R

xxxxxxxxxxxxxxxxxv = ω.R

xxxxxxxxxxxxxxxxxω = 2π/T (Δφ = 2π rad e Δt = T)

xxxxxxxxxxxxxxxxxω = 2π.f

xxxxxxxxxxxxxxxxxa_CP = v²/R = ω².R

Funções horárias:

Linear:

xxxxxxxxxxxxxxxxxs = s₀ + v.t

Angular:

xxxxxxxxxxxxxxxxxφ = φ₀ + ω.t

Exercícios básicos

Exercício 1:

A cadeira de uma roda gigante que realiza um MCU, completa um terço de volta em 20 s. Considere π = 3. Determine:

a) o período de rotação da cadeira;
b) a frequência em Hz e em rpm;
c) a velocidade angular da cadeira.

Resolução: clique aqui

a) um terço de volta => 20s; uma volta => T
Portanto: T = 60 s

b) f = 1/T => f = 1/60 Hz = (1/60) x 60 rpm = 1 rpm

c) ω = 2.π/T => ω = 2.3/60 => ω = 0,1 rad/s

Respostas:
a) 60 s
b) 1/60 Hz; 1 rpm
c) 0,1 rad/s

Exercício 2:

Uma partícula descreve um MCU de raio 2 m e com frequência 2 Hz. Adote π = 3. Determine:

a) o período do movimento;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade linear;
d) a aceleração escalar
e) o módulo da aceleração centrípeta.

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a) T = 1/f => T = 1/2 Hz = 0,5 Hz

b) ω = 2.π/T => ω = 2.3/0,5 => ω = 12 rad/s

c) v = ω.R => v = 12.2 => v = 24 m/s

d) Sendo o movimento uniforme a aceleração escalar é nula.

e) a_CP = v²/R => a_CP = (24)²/2  => a_CP = 288 m/s²

Respostas:
a) 0,5 s
b) 12 rad/s
c) 24 m/s
d) zero
e) 288 m/s²  

Exercício 3:

Uma pessoa, na cidade de Macapá (Amapá), está em repouso sobre a linha do equador. Qual é a velocidade linear desta pessoa devido ao movimento de rotação da Terra? Considere o raio da Terra igual a 6,4.10³ km e π = 3.

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v = ω.R = (2.π/T).R => v = (2.3/24).6,4.10³ km/h => v = 1600 km/h

Resposta: 1600 km/h

Exercício 4:

Um ciclista descreve um movimento circular uniforme de raio R = 100 m, com velocidade linear igual a 36 km/h. Determine, para o intervalo de tempo igual a 10 s,o ângulo e o arco descritos pelo ciclista.

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v = ω.R => v = (Δφ/Δt).R => 10 = (Δφ/10).100 => Δφ = 1 rad
Δs = Δφ.R => Δs = 1.100 => Δs = 100 m

Respostas: 1 rad; 100 m

Exercício 5:

Duas partículas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com períodos

T_A = 1 s e T_B = 3 s, respectivamente. As partículas partem de um mesmo ponto C da trajetória circular e no mesmo sentido.

a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até se encontrarem pela primeira vez no ponto C?
b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até o instante em que uma partícula se encontra uma volta na frente da outra?
c) Refaça o item b) e considere que as partículas partiram do ponto C em sentidos opostos.

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a)
A partícula A volta ao ponto de partida C após 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, etc. Já a partícula B volta ao ponto C após 3 s, 6 s, 9s, 12 s, etc. Então, vão se encontrar novamente no ponto C, pela primeira vez, no instante t = 3 s.

b)
2.π.R = v_A.t - v_B.t =>
2.π.R = t.(v_A - v_B) =>
2.π.R = t.[(2.π.R)/T_A - (2.π.R/T_B)]
1 = t.(1/T_A - 1/T_B) => 1 = t.(1/1 - 1/3) => t = 1,5 s

c)
2.π.R = v_A.t + v_B.t =>
2.π.R = t.(v_A + v_B) =>
2.π.R = t.[(2.π.R)/T_A + (2.π.R/T_B)]
1 = t.(1/T_A+1/T_B) => 1 = t.(1/1 + 1/3) => t = 0,75 s

Respostas:
a) t = 3 s; b) t = 1,5 s; c) 0,75 s

Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(Fatec-SP)
Uma roda gira com frequência 1200 rpm. A frequência e o período são respectivamente:

a) 1200 Hz, 0,05 s.
b) 60 Hz, 1 min.
c) 20 Hz, 0,05 s.
d) 20 Hz, 0,5 s.
e) 12 Hz, 0,08 s.

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f = 1200 rpm = (1200/60) rps = 20 Hz
T = 1/f = 1/20 (s) = 0,05 s

Resposta: c

Revisão/Ex 2:
(U. Mackenzie-SP)
Em um experimento verificamos que certo corpúsculo descreve um movimento circular uniforme de raio 6,0 m, percorrendo 96 m em 4,0 s. O período do movimento desse corpúsculo é, aproximadamente:

a) 0,80 s        b) 1,0 s        c) 1,2 s        d) 1,6 s        e) 2,4 s

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v = ω.R => Δs/Δt = 2.π.R/T => 96/4,0 = 2.3,14.6,0/T =>
24 = 37,68/T => T ≅ 1,6 s

Resposta: d

Revisão/Ex 3:
(FEI-SP)
Em uma bicicleta com roda de 1 m de diâmetro, um ciclista necessita dar uma pedalada para que a roda gire duas voltas. Quantas pedaladas por minuto deve dar o ciclista para manter a bicicleta com uma velocidade constante de 6.π km/h?

a) 300.
b) 200.
c) 150.
d) 100.
e) 50.

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Distância percorrida pela roda em 1 minuto:

v = Δs/Δt => (6.π/3,6)m/s = Δs/60s => Δs = 100.π m

Numero de voltas dada pela roda: 

Δs/2.π.R = 100.π/2.π.0,5 = 100 voltas

Se a roda, em um minuto, completa 100 voltas, o pedal completará 200 voltas.

Resposta: b

Revisão/Ex 4:
(Uniube-MG)
Uma gota de tinta cai a 5 cm do centro de um disco que está girando a 30 rpm. As velocidades angular e linear da mancha provocada pela tinta são, respectivamente, iguais a:

a) π rad/s e 5.π cm/s 
b) 4.π rad/s e 20.π cm/s
c) 5.π rad/s e 25.π cm/s
d) 8.π rad/s e 40.π cm/s
e) 10.π rad/s e 50.π cm/s  

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f = 30 rpm = (30/60) Hz = 0,5 Hz
ω = 2.π.f = 2.π.0,5rad/s = π rad/s
v = ω.R = π.5 => v = 5.π cm/s

Resposta: a

Revisão/Ex 5:
(UFC-CE)
Considere um relógio de pulso em que o ponteiro dos segundos tem um comprimento r_s = 7 mm, e o ponteiro dos minutos tem um comprimento r_m = 5 mm (ambos medidos a partir do eixo central do relógio). Sejam, v_s a velocidade da extremidade do ponteiro dos segundos, e v_m a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos. A razão v_s/v_m é igual a:

a) 35.
b) 42.
c) 70.
d) 84.
e) 96.

Resolução: clique aqui

v_s = 2.π.r_s/T_s = 2.π.7mm/1min = 14.π mm/min 

v_m = 2.π.r_m/T_m = 2.π.5mm/60min = (1/6).π mm/min 

v_s/v_m = 84

Resposta: d