Movimento uniformemente variado (MUV)x(I)
Borges e Nicolau
Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).
Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).
α = αm = Δv/Δt ≠ 0
Função horária da velocidade escalar
Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v0)/(t-0)
v = v0 + α.t
Onde: v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)
Função horária dos espaços
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2
Equação de Torricelli
v2 = (v0)2 + 2.α.Δs
Demonstração:
Elevando-se ao quadrado ambos os membros de v = v0 + α.t, vem:
v2 = (v0)2 + 2.v0.αt + α2.t2 => v2 = (v0)2 + 2α[v0.t + (α.t2/2)] =>
v2 = (v0)2 + 2.α.Δs
Animação:
Movimento Uniformemente Variado
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Propriedade do MUV
vm = Δs/Δt = (v1+v2)/2
Demonstração:
s1 = s0 + v0.t1 + [α.(t1)2]/2 (1)
s2 = s0 + v0.t2 + [α.(t2)2]/2 (2)
(2) – (1):
s2 - s1 = v0.(t2-t1) + [α.(t2-t1).(t2+t1)/2]
Δs/Δt = v0 + (α.t2+α.t1)/2 => Δs/Δt = (v0+α.t1+v0+α.t2)/2 =>
vm = (v1+v2)/2
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Uma moto parte do repouso de um ponto A cujo espaço é igual 10 m e descreve uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado. Após 10 s atinge o ponto B da trajetória com velocidade escalar 8 m/s.
Determine:
a) a aceleração escalar do movimento;
b) o espaço do motociclista ao passar pelo ponto B.
Resolução:
a) v = v0 + α.t => 8 = 0 + α.10 => α = 0,8 m/s2
b) s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 10 + 0 + 0,8.(10)2/2 => s = 50 m
Respostas: a) 0,8 m/s2 ; b) 50 m
Exercício 2:
Duas partículas, A e B, movem-se numa mesma trajetória. Suas funções horárias são respectivamente SA = -20 + 10t + t2 e SB = -28 + 16t, sendo SA e SB medidos em metros e t em segundos.
a) Em que instantes A e B se cruzam?
b) Os espaços das partículas nos instantes de cruzamento.
Resolução:
a) Instantes em que A e B se cruzam:
SA = SB => -20 + 10t + t2 = -28 + 16t => t2 - 6t + 8 = 0 => t = 2 s e t = 4 s
b) Espaços das partículas nos instantes de cruzamento:
SA = -20 + 10t + t2 => SA = -20 +10.2 + (2)2 => SA = 4 m
SA = -20 + 10t + t2 => SA = -20 +10.4 + (4)2 => SA = 36 m
Resposta: a) 2 s e 4 s ; b) 4 m e 36 m
Exercício 3:
A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a função:
v = 40 – 8t (SI), para t ≥ 0.
Determine:
a) Em que instante o móvel muda o sentido de seu movimento;
b) Entre que instantes o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e retardado.
Resolução:
a) O móvel muda o sentido de seu movimento no instante em que v = 0.
Portanto: 0 = 40 – 8t => t = 5 s
b) Movimento progressivo: v > 0 => 40 -8t > 0 => t < 5 s
Sendo α = -8 m/s2 < 0, concluímos que para t < 5 s o movimento é retardado
(v e α têm sinais opostos).
Movimento retrógrado: v < 0 => 40 -8t < 0 => t > 5 s
Sendo α = -8 m/s2 < 0, concluímos que para t > 5 s o movimento é acelerado
(v e α têm mesmo sinal).
Respostas:
a) 5 s
b) 0 ≤ t < 5 s: progressivo e retardado;
t > 5 s: retrógrado e acelerado
Exercício 4:
Um trem de comprimento 200 m atravessa um túnel de comprimento 100 m, em movimento uniformemente variado. O trem inicia a travessia com velocidade de 10 m/s. Determine a aceleração escalar do trem, sabendo-se que a travessia dura 20 s.
Resolução:
Cada ponto do trem percorre, durante a travessia, a distância de 300 m.
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => 300 = 0 + 10.20 + (α/2).(20)2 => α = 0,5 m/s2
Resposta: 0,5 m/s2
Exercício 5:
Trens rápidos
Os trens de grande velocidade levam vantagem em relação aos aviões nos percursos entre grandes cidades.
Entre São Paulo e Rio de Janeiro há estudos, em fase final, para a implantação de uma linha rápida, que fará a viagem em cerca de duas hora e meia. De centro a centro.
De avião, a viagem propriamente dita dura por volta de 40 minutos, mas computando-se os tempos dos deslocamentos até os aeroportos e a espera pelo embarque, a viagem de trem torna-se competitiva, além do fato de a passagem ferroviária custar menos.
Partindo do repouso um trem de grande velocidade sai de São Paulo acelerando à razão de 8 m/s2, até atingir a velocidade de 60 m/s, que será mantida constante por 110 minutos, para depois iniciar a desaceleração.
Determine:
a) O intervalo de tempo despendido e a distância percorrida pelo trem desde a partida até atingir a velocidade de 60 m/s.
b) A distância percorrida durante o intervalo de tempo em que a velocidade permanece constante? Dê a resposta em km.
Resolução:
a) v = v0 + α.t => 60 = 0 + 8.t => t = 7,5 s
s = s0 + v0.t + (α.t2)/2 => s = 0 + 0.7,5 + 8.(7,5)2/2 => s = 225 m
b) Sendo uniforme o movimento neste trecho, temos:
Δs = v.Δt => Δs = 60.110.60 => Δs = 396000 m => Δs = 396 km
Respostas: a) 7,5 s e 225 m; b) 396 km
Exercícios de Revisão
Revisão/Ex:1
(FEI-SP)
A tabela dá os valores da velocidade escalar instantânea de um móvel em função do tempo, traduzindo uma lei de movimento que vale do instante t = 0 até o instante t = 5,0 s.
A respeito desse movimento podemos dizer que:
a) é uniforme
b) é uniformemente variado com velocidade inicial nula
c) é uniformemente acelerado com velocidade inicial diferente de zero
d) sua aceleração escalar é variável
e) nada se pode concluir.
Resolução:
Da tabela concluímos que de um em um segundo a velocidade aumenta de 3,0 m/s. Isto significa que o movimento é uniformemente variado. Observe que no instante t = 0, a velocidade é igual a 4,0 m/s.
Resposta: c
Revisão/Ex:2
(Olimpíada Paulista de Física)
O movimento de dois carros que se deslocam na mesma estrada pode ser descritos pelas seguintes funções horárias: s1 = 50.t + 10 e s2 = 5.t2 – 45, onde s1 e s2 são os espaços em metros e t é o tempo em segundos. Pergunta-se, qual o valor de t no instante em que os dois carros se encontram?
a) 11 s
b) 1 s
c) 22 s
d) 2 s
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Resolução:
No instante em que os dois carros se encontram seus espaços são iguais:
s1 = s2 => 50.t+10 = 5.t2–45 => t2-10.t-11 = 0
t = 10±√{[(10)2-4.1.(-11)]/2.1} => 10±√[(10)2+44]/2
t = (10±12)/2 => t1 = 11 s e t2 = -1 s (não serve)
Resposta: a
Revisão/Ex:3
(UNICAMP-SP)
As faixas de aceleração das auto-estradas devem ser longas o suficiente para permitir que um carro, partindo do repouso, atinja a velocidade escalar de 108 km/h em uma estrada horizontal. Um carro popular é capaz de acelerar de 0 a 108 km/h em 15 s. Suponha que a aceleração escalar seja constante.
a) Qual o valor da aceleração escalar?
b) Qual a distância percorrida em 10 s?
c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de aceleração?
Resolução:
a) Sendo a aceleração escalar constante, ela coincide com a aceleração escalar média:
α = αm => α = Δv/Δt => α = (108/3,6-0)/15 => α = 2 m/s2
b) Sendo v0 = 0 e adotando-se a origem no ponto de partida, isto é, s0 = 0, vem:
s = α.t2/2 => s = 2.(10)2/2 => s = 100 m
c) o comprimento mínimo da faixa de segurança é a distância que o carro percorre em 15 s:
s = α.t2/2 => s = 2.(15)2/2 => s = 225 m
Respostas: a) 2 m/s2; b) 100 m; c) 225 m
Revisão/Ex:4
(IJSO)
Um carro se desloca numa avenida com velocidade constante de 54 km/h. O motorista percebendo a mudança de cor do sinal para o vermelho, freia o veículo. Entretanto, seu tempo de reação é de 0,4 s, mas ele consegue parar exatamente antes da faixa de travessia dos pedestres, 10 s depois de ter acionado os freios. Seja D a distância total percorrida, desde o instante em que observou o sinal ficar vermelho até parar. Se o tempo de reação do motorista osse de 0,6 s, mantidas as demais condições, seu carro avançaria a distância d na faixa dos pedestres. Os valores de D e d são respectivamente:
a) 36 m e 2,0 m
b) 49 m e 2,0 m
c) 64 m e 3,0 m
d) 81 m e 3,0 m
e) 81 m e 5,0 m
Resolução:
Vamos transformar 54 km/h para m/s: 54/3,6 m/s = 15 m/s.
Para Δt = 0,4 s (tempo de reação) o carro percorre:
Δs = v.Δt = 15.0,4 => Δs = 6,0 m
A partir deste instante o carro começa a frear uniformemente. Vamos adotar a origem no ponto onde o carro iniciou o freamento. Assim, temos: s0 = 0 e
v0 = 15 m/s e sabendo-se que o carro para 10 s depois de ter acionado os freios temos:
v = v0 + α.t => 0 = 15 + α.10 => α = -1,5 m/s2
s = s0 + v0.t + α.t2/2 => s = 0 + 15.10 + (-1,5).(10)2/2 => s = 75 m
A distância D percorrida desde o instante em que observou o sinal ficar vermelho até parar é igual a:
D = 6,0 m + 75 m => D = 81 m
Se o tempo de reação do motorista fosse 0,6 s, mantidas as demais condições, o carro percorreria a mais a distância:
Δs = v.Δt = 15.0,6 => Δs = 9,0 m
Neste caso a distância total percorrida seria: 9,0m + 75 m = 84 m. Logo o carro avançaria na faixa de pedestre a distância d = 84 m – 81 m = 3,0 m.
Resposta: d
Revisão/Ex:5
(Mackenzie-SP)
Tássia, estudando o movimento retilíneo uniformemente variado, deseja determinar a posição de um móvel no instante em que ele muda o sentido de seu movimento. Sendo a função horária da posição do móvel dada por x = 2t2 - 12t + 30, onde x é sua posição em metros e t o tempo de movimento em segundos, a posição desejada é:
a) 12 m.
b) 18 m.
c) 20 m.
d) 26 m.
e) 30 m.
Resolução:
Comparando s = s0 + v0.t + α.t2/2 com x = 30 - 12.t + 2.t2, concluimos
que v0 = -12 m/s e α = 4 m/s2.
Portanto, de v = v0 + α.t, vem: v = -12 + 4.t => t = 3 s (instante da mudança de sentido).
No instante t = 3 s a posição do móvel é dada por:
x = 30 - 12.(3) + 2.32 => x = 12 m
Resposta: a
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