Cursos do Blog - Termologia, Óptica e Ondas

Equação de Gauss. Aumento linear transversal

Borges e Nicolau

Equação de Gauss

Na aula anterior aprendemos como obter graficamente a imagem de um objeto colocado diante de  uma lente esférica delgada. A posição da imagem pode ser obtida por meio de uma equação: Equação de Gauss. 

Clique para ampliar

Sejam p e p’ as abscissas do objeto e da imagem em relação ao sistema de eixos cartesianos indicado na figura acima, obedecendo à seguinte convenção de sinais:

Objeto real: p > 0
Imagem real: p' > 0
Imagem virtual: p' < 0

Para a distância focal f, temos:

Lente convergente: f > 0
Lente divergente: f < 0

p, p’ e f se relacionam pela Equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p'

Aumento linear transversal A

Sejam i e o as alturas da imagem e do objeto, respectivamente. A relação entre i e o é indicada por A e recebe o nome de aumento linear transversal:

A = i/o

Convenção de sinais:

Imagem direita: A > 0
Imagem invertida: A < 0

O aumento linear transversal e as abscissas p e p’ do objeto e da imagem também se relacionam:

A = -p'/p

Exercícios básicos

Exercício 1:
Um objeto linear situa-se a 30 cm de uma lente delgada convergente de distância focal 5 cm.

a) Determine a que distância da lente se forma a imagem.
b) A imagem é real ou virtual?
c) Represente a lente, o objeto e utilizando dois raios notáveis obtenha a imagem.

Resolução:

a) São dados: p = 30 cm e f = 5 cm. Aplicando a equação de Gauss determinamos o valor de p’:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/5 = 1/30 + 1/p’ => 1/p’ = 1/5 -1/30 =>
1/p’ = (6-1)/30 => p’ = +6 cm

A imagem se forma a uma distância de 6 cm da lente.

b) Sendo p’ > 0, concluímos que a imagem é real

c)

Respostas: a) 6 cm; b) real; c) esquema acima

Exercício 2:
Um objeto linear situa-se a 12 cm de uma lente delgada divergente cuja distância focal é, em módulo, igual a 6 cm.

a) Determine a que distância da lente se forma a imagem.
b) A imagem é real ou virtual?
c) Represente a lente, o objeto e utilizando dois raios notáveis obtenha a imagem.

Resolução:

a) São dados: p = 12 cm e f = -6 cm. Aplicando a equação de Gauss determinamos o valor de p’:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/-6 = 1/12 + 1/p’ => 1/p’ = 1/-6 -1/12 =>
1/p’ = (-2-1)/12 => p’ = -4 cm.

A imagem se forma a uma distância de 4 cm da lente.

b) Sendo p’ < 0, concluímos que a imagem é virtual

c)

Respostas: a) 4 cm; b) virtual; c) esquema acima

Exercício 3:
A imagem real de um objeto fornecida por uma lente delgada convergente, de distância focal 30 cm, situa-se a 40 cm da lente. Determine:

a) a que distância da lente está posicionado o objeto;
b) o aumento linear transversal.

Resolução:

a) Sendo p’ = 40 cm e f = 30 cm, calculamos p pela equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p’ => 1/30 = 1/p + 1/40 => 1/p = 1/30 - 1/40 =>
1/p = (4-3)/120 => p = 120 cm

b) O aumento linear transversal é dado por:

A = -p’/p => A = - 40/120 => A = - 1/3 => a imagem é invertida e tem altura igual a um terço da altura do objeto.

Respostas: a) 120 cm; b) -1/3

Exercício 4:
A imagem de um objeto situado diante de uma lente delgada divergente tem altura 3 vezes menor do que a do objeto. O módulo da distância focal da lente é de 15 cm. Determine a distância entre o objeto e a imagem.

Resolução:

Sendo a lente divergente, temos: f = -15 cm.
A imagem é direita. Logo: i = o/3
 
A = i/o = -p’/p => A = (o/3)/o = -p’/p => 1/3 = -p’/p => p’ = -p/3 (1)
 
Equação de Gauss: 1/f = 1/p + 1/p’=> 1/-15 = 1/p + -3/p => p = 30 cm
 
De (1), vem: p’ = -10 cm.
 
O objeto está a 30 cm diante da lente.
A imagem está diante da lente e a 10 cm.
Logo a distância entre o objeto e a imagem é de 20 cm

Resposta: 20 cm

Exercício 5:
Dois objetos retilíneos de mesma altura, O₁ e O₂, são dispostos perpendicularmente ao eixo principal de uma lente delgada convergente, conforme indica a figura. A e A’ são os pontos anti-principais objeto e imagem; F e F’ os focos principais objeto e imagem. Determine:

a) a distância entre as imagens conjugadas.
b) a relação entre as alturas i₁ e i₂ das imagens de O₁ e O₂, respectivamente.

  
Resolução:

a) Imagem de O₁
 
1/f = 1/p + 1/p’ => 1/10 = 1/30 + 1/p’ => 1/p’ = 1/10 -1/30 =>
1/p’ = (3-1)/30 => p’ = 15 cm

Imagem de O₂
 
1/f = 1/p + 1/p’ => 1/10 = 1/20 + 1/p’ => 1/p’ = 1/10 -1/20 =>
1/p’ = (2-1)/20 => p’ = 20 cm
 
A distância entre as duas imagens é igual a: 20 cm – 15 cm = 5 cm

b) Vamos aplicar duas vezes a relação; i/o = -p’/p

i₁/o = - 15/30 => i₁/o = -1/2 (1) 
i₂/o = - 20/20 => i₂/o = -1 (2)

De (1) e (2), vem: i₁/i₂ = 1/2

Respostas: a) 5 cm; b) i₁/i₂ = 1/2