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Energia cinética

Borges e Nicolau

A energia que um corpo possui e que está associada a seu estado de movimento, chama-se energia cinética.
Um corpo de massa m apresenta, em dado instante, uma velocidade v. Sua energia cinética E_c é dada por:

E_c = m.v²/2

Teorema da energia cinética (TEC)

xxxxxxA variação da energia cinética de um corpo entre dois instantes xxxxxxquaisquer é dada pelo trabalho da resultante das forças que xxxxxxatuam sobre esse corpo, neste intervalo de tempo.

Este teorema tem validade geral. Entretanto, vamos fazer a demonstração na situação particular, representada na figura: num dado instante, um corpo de massa m ocupa a posição A, apresentando uma velocidade v_A. Sob a ação de uma força resultante F_R, suposta constante, esse corpo é acelerado de modo a apresentar na posição B, ao final de certo intervalo de tempo Δt, a velocidade v_B.

A energia cinética do corpo variou de um valor inicial E_cA para um valor final E_cB. A variação de energia cinética ocorrida no intervalo de tempo considerado será dada por:

ΔE_c = E_cB – E_cA  =>  ΔE_c = m.(v_B)²/2 - m.(v_A)²/2  =>    
ΔE_c = m/2.[(v_B)² – (v_A)²]
Da equação de Torricelli (v_B)² = (v_A)² + 2.a.Δs, vem: (v_B)² - (v_A)² = 2.a.Δs. Portanto:
ΔE_c = m/2.(2.a.Δs)  =>  ΔE_c = m.a.Δs  =>  ΔE_c = F_R.Δs
Sendo F_R.Δs = τ_R o trabalho realizado pela força resultante F_R que atua sobre o corpo, obtemos:

ΔE_c = τ_R

Exercícios básicos

Exercício 1:
Qual é a energia cinética de um carro de massa 800 kg e que se desloca com velocidade constante de 72 km/h?

Resolução:

E_c = m.v²/2 => E_c = 800.(20)²/2 => E_c = 1,6.10⁵ J 

Resposta: 1,6.10⁵ J 

Exercício 2:
Um corpo possui, num certo instante t₁, velocidade v e energia cinética igual a 20 J. Num instante posterior t₂ sua velocidade passa a ser 2v. Determine:
a) a energia cinética do corpo no instante t₂;
b) o trabalho da força resultante que age no corpo entre os instantes t₁ e t₂.

Resolução:

a) E_c1 = m.v²/2 = 20 J; E_c2 = m.(2v)²/2 => E_c2 = 4.m.v²/2 =>
E_c2 = 4.E_c1 = 80 J
 
b) τ_R = E_c2 - E_c1 => τ_R = 60 J

Respostas: a) 80 J; b) 60 J

Exercício 3:
Uma partícula, de massa m = 200 g, é lançada obliquamente do solo com velocidade de intensidade v₀ = 20 m/s, formando com a horizontal um ângulo θ = 60º. Determine a energia cinética da partícula no instante em que atinge a altura máxima.
 
Resolução:

No ponto de altura máxima a velocidade da partícula é:v_x
v = v_x = v₀.cos 60° => v = 20.0,5 => v = 10 m/s 
E_c = m.v²/2 => E_c = 0,2.(10)²/2 => E_c = 10 J

Resposta: 10 J

Exercício 4:
Sob ação de uma força vertical de intensidade F = 15 N, um bloco de peso P = 10 N é levado, a partir do repouso, do solo até uma posição de altura h = 1,6 m, onde chega com velocidade v. Determine v.
É dado g = 10 m/s².
 
Resolução: 

Teorema da energia cinética 
τ_R = ΔE_c => τ_F + τ_P = m.v²/2 – 0 => F.h – P.h = m.v²/2 =>
15.1,6 – 10.1,6 = 1,0.v²/2 => v = 4,0 m/s

Resposta: 4,0 m/s

Exercício 5:
O plano inclinado da figura possui 30 m de comprimento e 2,0 m de altura. Um pequeno bloco de massa m = 1,0 kg parte do repouso do ponto A e atinge o ponto B com velocidade v = 4,0 m/s.
Sendo g = 10 m/s², determine:
a) o trabalho da força de atrito entre o corpo e o plano;
b) a intensidade da força de atrito. 

Resolução:

a) Teorema da energia cinética 
τ_R = ΔE_c => τ_Fat + τ_P + τ_FN = m.v²/2 – 0 =>
τ_Fat + m.g.h + 0 = m.v²/2 => 
τ_Fat + 1,0.10.2,0 + 0 = 1,0.(4,0)²/2 => τ_Fat = -12 J

b) τ_Fat = -F_at.d => -12 = -F_at.30 => F_at = 0,4 N

Respostas: a) -12 J; b) 0,4 N