e, o número da natureza!
Professor Carlos Magno Torres
Em uma leitura anterior conhecemos algumas propriedades e particularidades muito interessantes do incrível número PI (π). Nesta leitura vamos conhecer outro magnífico número, conhecido como número de Napier (John Napier, 1550 – 1617), embora o símbolo que representa esse número, a letra e, tenha sido usado primeiramente por Euler1 (Leonhard Euler, 1707 – 1783). Contrariamente ao PI, que conhecemos logo nos nossos primeiros anos de escola, o e só aparece na nossa vida escolar mais ou menos no final da segunda série ou na terceira série do ensino médio. Muitos estudantes nem tem a oportunidade de conhecê-lo.
Na figura do título desta leitura apresentamos o número e com suas cinquenta primeiras casas decimais.
Assim como o PI, o número “e” é irracional, isto é, não pode ser escrito como razão entre dois inteiros, e também é transcendental, isto é, ele não pode ser obtido como raiz de uma equação algébrica polinomial2.
Mas então,... como obter o e? Para que serve esse número? Onde ele aparece?
Bem, temos alguns caminhos para chegar a ele e várias são as situações nas quais ele está presente. Acompanhe.
1Euler pronuncia-se "óiler". "Freud" explica.
2Evidentemente π é raiz da equação x – π = 0. Mas essa equação não é algébrica, isto é, seus coeficientes não são inteiros e, além disso, ela não nos dá o valor de π!
2Evidentemente π é raiz da equação x – π = 0. Mas essa equação não é algébrica, isto é, seus coeficientes não são inteiros e, além disso, ela não nos dá o valor de π!
Expressões que levam ao "e"
1. Euler demostrou que a função f(x) = (1 + 1/x)x converge para o número e quando x cresce indefinidamente. A tabela abaixo mostra valores de f(x) para valors significativos de x.
x
x
Clique para ampliar
Como se vê, os valores de f(x) são cada vez maiores, mas tendem a um limite.
2. Podemos obter o número e, com a precisão que desejarmos, adicionando mais e mais parcelas à série infinita a seguir, descoberta por Isaac Newton em 1665:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... + 1/n!
O símbolo "n!" lê-se "n fatorial". Na tabela abaixo mostram-se os fatoriais de alguns números naturais a partir do zero.
(*)Evidentemente, os fatoriais de zero e um não podem ser calculados por produtos de fatores, como são calculados os fatoriais de 2 em diante.3
Assim, a somatória acima fica:
e = 1/1+1/1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+...+1/n!
Se somarmos até a oitava parcela já teremos e ≅ 2,718254, com precisão até décimos de milésimos!
Há uma maneira fácil de se obter a soma dessa série, para quantas parcelas quisermos. Veja:
divide por 1: xxxxxx1xxxxxxxxxxxxxxxxxxsoma (e ≅)
divide por 2: xxxxxx1xxxxxxxxxxxxxxxxxxx2
divide por 3: xxxxxx0,5xxxxxxxxxxxxxxxxxx2,5
divide por 4: xxxxxx0,1666...xxxxxxxxxxx2,666...
divide por 5: xxxxxx0,041666...xxxxxxxxx2,708333...
divide por 6: xxxxxx0,008333...xxxxxxxxx2,71666...
divide por 7: xxxxxx0,0013888...xxxxxxxx2,7180555...
divide por 8: xxxxxx0,00019841...xxxxxxx2,71825397...
...xxxxxxxx... xxxxxx0,00002480...xxxxxxx2,71827877...
xxxxx⋮ xxxxxxxxxxxxxxxxx⋮xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⋮
Essa soma “converge” mais rapidamente para o valor de e que a função f(x) acima. Portanto vale a igualdade demonstrada por Euler:
[(1 + 1/x)x]x→∞ = 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+...+1/n! = e
3. Aproximações excelentes para o e:
• e ≅ (π4 + π5)1/6 ≅ 2,71828180862... (precisão até décimo de milionésimo!)
• e ≅ 271801/99990 ≅ 2,71828182818... (precisão até bilionésimo!)
Acho que já está bom, não?!
3Existe uma função, denominada função Gama de Euler, que calcula o fatorial de qualquer número real, exceto para os inteiros negativos, para os quais não se define fatorial. Calculadoras eletrônicas científicas mais avançadas tem essa função residente.
2. Podemos obter o número e, com a precisão que desejarmos, adicionando mais e mais parcelas à série infinita a seguir, descoberta por Isaac Newton em 1665:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... + 1/n!
O símbolo "n!" lê-se "n fatorial". Na tabela abaixo mostram-se os fatoriais de alguns números naturais a partir do zero.
Clique para ampliar
(*)Evidentemente, os fatoriais de zero e um não podem ser calculados por produtos de fatores, como são calculados os fatoriais de 2 em diante.3
Assim, a somatória acima fica:
e = 1/1+1/1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+...+1/n!
Se somarmos até a oitava parcela já teremos e ≅ 2,718254, com precisão até décimos de milésimos!
Há uma maneira fácil de se obter a soma dessa série, para quantas parcelas quisermos. Veja:
divide por 1: xxxxxx1xxxxxxxxxxxxxxxxxxsoma (e ≅)
divide por 2: xxxxxx1xxxxxxxxxxxxxxxxxxx2
divide por 3: xxxxxx0,5xxxxxxxxxxxxxxxxxx2,5
divide por 4: xxxxxx0,1666...xxxxxxxxxxx2,666...
divide por 5: xxxxxx0,041666...xxxxxxxxx2,708333...
divide por 6: xxxxxx0,008333...xxxxxxxxx2,71666...
divide por 7: xxxxxx0,0013888...xxxxxxxx2,7180555...
divide por 8: xxxxxx0,00019841...xxxxxxx2,71825397...
...xxxxxxxx... xxxxxx0,00002480...xxxxxxx2,71827877...
xxxxx⋮ xxxxxxxxxxxxxxxxx⋮xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⋮
Essa soma “converge” mais rapidamente para o valor de e que a função f(x) acima. Portanto vale a igualdade demonstrada por Euler:
[(1 + 1/x)x]x→∞ = 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+...+1/n! = e
3. Aproximações excelentes para o e:
• e ≅ (π4 + π5)1/6 ≅ 2,71828180862... (precisão até décimo de milionésimo!)
• e ≅ 271801/99990 ≅ 2,71828182818... (precisão até bilionésimo!)
Acho que já está bom, não?!
3Existe uma função, denominada função Gama de Euler, que calcula o fatorial de qualquer número real, exceto para os inteiros negativos, para os quais não se define fatorial. Calculadoras eletrônicas científicas mais avançadas tem essa função residente.
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