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Ligação entre dois condutores esféricos

Borges e Nicolau

Vamos estabelecer um contato direto, ou através de um fio, entre dois condutores esféricos de raios R1 e R2, eletrizados com cargas elétricas Q1 e Q2 e potenciais elétricos V1 e V2 (V1 ≠ V2), respectivamente. Despreze a indução eletrostática de um condutor sobre o outro.

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Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático os condutores adquirem o mesmo potencial V e passam a ter novas cargas Q'1 e Q'2. Vamos determinar Q'1 e Q'2:

Q1 + Q2 = Q'1 + Q'2
Q1 + Q2 = C1.V + C2.V
V = (Q1 + Q2)/(C1 + C2)

Q'1 = C1.V  =>  Q'1 = C1.(Q1 + Q2)/(C1 + C2)  =>

Q'2 = C2.V  =>  Q'2 = C2.(Q1 + Q2)/(C1 + C2)  =>

Resumindo:

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Exercícios básicos
 
Exercício 1:
Tem-se dois condutores esféricos de mesmo raio (R1 = R2 = R). O primeiro está eletrizado com carga elétrica Q1 = 6,0 μC  e o segundo está neutro (Q2 = 0). Os condutores são colocados em contato. Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q’1 e Q’2), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles.
  
Resolução:

Sendo R1 = R2 = R, temos: Q’1 = Q’2 = (Q1+Q2)/2 = (6,0 μC+0)/2 = 3,0 μC

Resposta: 3,0 μC cada condutor

Exercício 2:
Tem-se dois condutores esféricos de mesmo raio (R1 = R2 = R). O primeiro está eletrizado com carga elétrica Q1 = 6,0 μC e o segundo com carga elétrica  Q2 = 4,0 μC. Os condutores são colocados em contato. Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q’1 e Q’2), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles. 

Resolução:

Sendo R1 = R2 = R, temos: Q’1 = Q’2 = (Q1+Q2)/2 = (6,0 μC+4,0 μC)/2 = 5,0 μC

Resposta: 5,0 μC cada condutor 

Exercício 3:
Dois condutores esféricos, A e B, de raios R1= R e R2 = 9R, estão eletrizados com cargas elétricas Q1 = 6,0 μC e Q2 = 4,0 μC, respectivamente. Os condutores são colocados em contato.
 
a) Determine as novas cargas elétricas dos condutores (Q’1 e Q’2), após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles.
b) Houve passagem de elétrons de A para B ou de B para A?
 
Resolução: 

a)
Q'1 = R1.(Q1+Q2)/(R1+R2) => Q'1 = R.10/10R => Q'1 = 1,0 μC
Q'2 = R2.(Q1+Q2)/(R1+R2) => Q'2 = 9R.10/10R => Q'1 = 9,0 μC
 
b)
A carga elétrica de A passa de 6,0 μC para 1,0 μC. Portanto, A recebe elétrons de B.

Resposta: a) 1,0 μC e 9,0 μC; b) B para A

Exercício 4:
Dois condutores esféricos, A e B, de raios 10 cm e 30 cm estão eletrizados com cargas elétricas iguais a 7,0 μC e 5,0 μC, respectivamente.
É dado k0 = 9.10⁹ N.m²/C²

a) Quais os potenciais elétricos dos condutores?
b) Coloca-se os condutores em contato. Quais são as novas cargas elétricas dos condutores, após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático entre eles. 
c) Nas condições do item b, calcule o potencial elétrico comum aos condutores. 

Resolução:

a) 
V1 = k0.Q1/R1 = 9.10⁹.7,0.10^-6/10.10^-2 => V1 = 6,3.10⁵ volts
V2 = k0.Q2/R2 = 9.10⁹.5,0.10^-6/30.10^-2 => V2 = 1,5.10⁵ volts

b)
Q'1 = R1.(Q1+Q2)/(R1+R2) => Q'1 = 10.12/40 => Q'1 = 3,0 μC
Q1+Q2 = Q’1+Q’2 => 7,0+5,0 = 3,0+Q’2 => Q’2 = 9,0 μC

c) 
V = k0.Q'1/R1 = 9.10⁹.3,0.10^-6/10.10^-2 => V = 2,7.10⁵ volts

Respostas:

a) 6,3.10⁵ volts e 1,5.10⁵ volts; b) 3,0 μC e 9,0 μC; 2,7.10⁵ volts 

Exercício 5:
Retome o exercício anterior e seja 1,6.10^-19 C a carga elétrica do próton que em módulo é igual à do elétron. Assinale a afirmação correta:

I) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ elétrons de A para B.
II) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ elétrons de B para A.
III) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 2,5.10¹³ prótons de A para B.
IV) Desde o estabelecimento do contato entre os condutores até atingir o equilíbrio eletrostático, ocorre a passagem de 1,6.10²⁶ elétrons de B para A.

Resolução:

A carga elétrica de A passa de 7,0 μC para 3,0 μC. Portanto, A recebe elétrons de B. A carga elétrica que passa de B para A é em valor absoluto igual a 4,0 μC. 
Esta carga elétrica é constituída de n elétrons:
n = 4,0.10^-6/1,6.10^-19 = 2,5.10¹³

Resposta:
A afirmação correta é a II