Cursos do Blog - Mecânica

8ª aula
Movimento uniformemente variado (MUV)x(III)

Borges e Nicolau

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).

Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).

α = α_m = Δv/Δt ≠ 0

Função horária da velocidade escalar

Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v₀)/(t-0)

v = v₀ + α.t

Onde: v₀ = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)

Função horária dos espaços

s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2

Equação de Torricelli

v² = (v₀)² + 2.α.Δs

Propriedade do MUV

v_m = Δs/Δt = (v₁+v₂)/2

Exercícios básicos

Exercício 1:
Duas motos, A e B, passam pelo marco quilométrico (km 50) de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 36 km/h e 72 km/h e acelerações escalares constantes e iguais a 0,4 m/s² e 0,2 m/s², respectivamente.

a) Depois de quanto tempo da passagem pelo km 50 as motos terão a mesma velocidade escalar?
b) Qual é a distância que as separa no instante calculado no item anterior?

Resolução:

a) De v = v₀ + α.t, temos:
Moto A: v_A = 10 + 0,4.t (SI)
Moto B: v_B = 20 + 0,2.t (SI)
fazendo v_A = v_B, vem:
10 + 0,4.t = 20 + 0,2.t => t = 50 s

b) De s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2, temos:
Moto A: s_A = s₀ + 10.50 + [0,4.(50)²]/2 => s_A = s₀ + 1000
Moto B: s_B = s₀ + 20.50 + [0,2.(50)²]/2 => s_B = s₀ + 1250
Distância d entre as motos no instante t = 50 s:_A
d = s_B - s_A = 250 m.

Respostas:
a) 50 s
b) 250 m

Este texto refere-se aos exercícios 2 e 3.

Dois carros, A e B, passam pelo marco zero de uma estrada retilínea, no mesmo instante e no mesmo sentido, com velocidades escalares iguais a 10 m/s e 30 m/s e acelerações escalares constantes e iguais a 0,2 m/s² e 0,1 m/s², respectivamente.

Exercício 2:
Quanto tempo após a passagem pelo marco zero o carro B estará na frente do carro A?

a) 100 s b) 200 s c) 300 s d) 400 s e) 500 s

Resolução:

De  s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2, temos:
Carro A: s_A = 0 + 10.t + (0,2.t²)/2 => s_A = 10.t + 0,1.t²
Carro B: s_B = 0 + 30.t + (0,1.t²)/2 => s_B = 30.t + 0,05.t²
O carro B estará na frente do carro A até o instante em que s_A = s_B:
10.t + 0,1.t² = 30.t + 0,05.t² => 0,05.t² - 20.t = 0 =>_A
t = 0 (instante da partida) e t = 400 s. 

Resposta: d 

Exercício 3:
Durante certo intervalo de tempo o carro B estará na frente de A. Qual é a máxima distância de B até A?

a) 1000 m b) 2000 m c) 3000 m d) 4000 m e) 5000 m

Resolução:

A máxima distância entre B e A ocorre no instante em que as velocidades se tornam iguais. A partir daí a distância do carro A ao carro B vai diminuindo até ocorrer a ultrapassagem:

De v = v₀ + α.t, temos:
Carro A: v_A = 10 + 0,2.t (SI)
Carro B: v_B = 30 + 0,1.t (SI)
fazendo v_A = v_B, vem:
10 + 0,2.t = 30 + 0,1.t => t = 200 s

Carro A: s_A = 10.t + 0,1.t² => s_A = 10.200 + 0,1.(200)² => s_A = 6000 m
Carro B: s_B = 30.t + 0,05.t² => s_B = 30.200 + 0,05.(200)² => s_B = 8000 m 

Distância máxima entre B e A: 8000 m – 6000 m = 2000 m

Outra maneira de resolver exercício 3 é construir o gráfico v x t para os carros A e B. A área do triângulo indicado é numericamente igual à máxima distância entre B e A.

D = Área (numericamente) = base x altura/2 = (30-10) x 200/2 =>_B
D = 2000 m

Resposta: b

Exercício 4:
Um carro desloca-se numa avenida com velocidade de 36 km/h e quando se encontra a 55 m de um cruzamento o semáforo passa para o vermelho. O tempo de reação do motorista, isto é, o intervalo de tempo para acionar os freios é de 0,5 s. Para que o carro pare exatamente no cruzamento, qual é a aceleração escalar, suposta constante, que os freios comunicam ao veículo?

Resolução:

Durante o intervalo de tempo de reação o carro se desloca em movimento unforme com velocidade 36 km/h = 10 m/s. Neste intervalo de tempo ele percorre a distância: 10 (m/s) x 0,5 (s) = 5 m. Assim, ao acionar os freios o carro se encontra a 50 m do cruzamento. Pela equação de Torricelli, temos:

v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 0 = (10)² + 2.α.50 => α = -1 m/s²

Resposta: α = -1 m/s²

Exercício 5:
Duas motos, A e B, partem no mesmo instante de duas cidade vizinhas C e D, situadas a uma distância de 5 km. A moto A desloca-se de C para D e a moto B, de D para C. Os veículos realizam movimentos uniformemente variados e acelerados. As velocidades escalares iniciais de A e B são, em módulo, iguais a 5 m/s e 15 m/s e suas acelerações escalares são, em módulo, iguais a 0,4 m/s² e 0,2 m/s², respectivamente. Em que instante, após as partidas, as motos se cruzam?

Resolução:

De  s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2, temos:
Moto A: s_A = 0 + 5.t + (0,4.t²)/2 => s_A = 5.t + 0,2.t² (SI)
Moto B: s_B = 5000 - 15.t - (0,2.t²)/2 => s_B = 5000 - 15.t - 0,1.t² (SI)
Instante em que as motos se cruzam: s_A = s_B:
5.t + 0,2.t² = 5000 - 15.t - 0,1.t²
0,3.t² +20.t - 5000 = 0 =>_Araízes t = 100 s e t = -(500/3) s (esta raíz não serve pois as funções são válidas para t ≥ 0)

Resposta: t = 100 s 

Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(Olimpíada Brasileira de Física)
Uma partícula executa um movimento retilíneo uniformemente variado. Num dado instante, a partícula tem velocidade 50 m/s e aceleração negativa de módulo 0,2 m/s². Quanto tempo decorre até a partícula alcançar a mesma velocidade, em sentido contrário?

a) 500 s   b) 200 s   c) 125 s   d) 100 s   e) 10 s

Resolução:

v = v₀ + α.t => -50 = 50 + (-0,2).t => t = 500 s

Resposta: a

Revisão/Ex 2:
(Mackenzie-SP)
Um trem de 100 m de comprimento, com velocidade escalar de 30 m/s, começa a frear com aceleração escalar constante de módulo 2,0 m/s², no instante em que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O comprimento do túnel é:

a) 25 m
b) 50 m
c) 75 m
d) 100 m
e) 125 m

Resolução:

v² = (v₀)²+ 2.α.Δs => 0 = (30)²+ 2.(-2,0).(100+L) => L = 125 m

Resposta: e

Revisão/Ex 3:
(UEL-PR)
Um móvel efetua um movimento retilíneo uniformemente variado, obedecendo a função horária s = 10 + 10.t - 5,0.t², onde s é o espaço medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4,0 s, em m/s, vale:

a) 50      b) 20      c) 0      d) -20      e) -30

Resolução:

Comparando s = 10 + 10.t - 5,0.t² com s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2, vem:

v₀ = 10 m/s e α = -10 m/s²
 
Portanto:

v = v₀ + α.t => v = 10 + (-10).4 => v = -30 m/s
 
Resposta: e

Revisão/Ex 4:
(FEI-SP)
Um veículo penetra num túnel com velocidade igual a 54 km/h, deslocando-se com movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veículo sai do túnel com velocidade de 72 km/h. Qual é, em metros, o comprimento do túnel:

a) 172      b) 175      c) 178      d) 184      e) 196

Resolução:

v_m = Δs/Δt = (v₁+v₂)/2 => Δs/10 = (15+20)/2 => Δs = 175 m

Resposta: b

Revisão/Ex 5:
(Olimpíada Brasileira de Física)
O movimento bidimensional de uma partícula é descrito pelas equações de suas coordenadas (x,y) em função do tempo (t) por:
x = 20 + 20.t - 8,0.t² e y = -10 - 19.t + 6,0.t² 
É possivel afirmar que os módulos de suas velocidade e aceleração, para o instante tx=x2,0 s, valem, respectivamente:

a) 5,0 m/s e 10,0 m/s²
b) 1,0 m/s e 5,0 m/s²
c) 5,0 m/s e 5,0 m/s²
d) 13,0 m/s e 20,0 m/s²
e) 39,0 m/s e 14,0 m/s²

Resolução:

Comparando-se s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2 com x = 20 + 20.t - 8,0.t² e 

y = -10 - 19.t + 6,0.t², determinamos as componentes v_0x e v_0y da velocidade inicial e as componentes α_x e α_y da aceleração:

v_0x = 20 m/s e v_0y = -19 m/s; α_x = -16 m/s² e α_y = 12 m/s²

No instante t = 2,0 s, temos: 

v_x = v_0x + α_x.t => v_x = 20 - 16.2,0 => v_x = -12 m/s 

v_y = v_0y + α_y.t => v_y = 19 - 12.2,0 => v_y = -5 m/s

v² = (v_x)² + (v_y)² => v² = (-12)² + (-5)² => v² = 169 => v = 13 m/s 

α² = (α_x)² + (α_y)² => α² = (-16)² + (12)² => α² = 400 => α = 13 m/s²

Resposta: d