Cursos do Blog - Mecânica

7ª aula
Movimento uniformemente variado (MUV)x(II)

Borges e Nicolau

Movimentos com velocidade escalar variável no decurso do tempo são comuns e neles existe aceleração escalar, podendo a velocidade aumentar em módulo (movimento acelerado) ou diminuir em módulo (movimento retardado).

Quando a aceleração escalar α é constante e não nula o movimento é chamado de uniformemente variado (MUV).

α = α_m = Δv/Δt ≠ 0

Função horária da velocidade escalar

Da expressão α = Δv/Δt, obtemos: α = (v-v₀)/(t-0)

v = v₀ + α.t

Onde: v₀ = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t = 0)

Função horária dos espaços

s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2

Equação de Torricelli

v² = (v₀)² + 2.α.Δs

Propriedade do MUV

v_m = Δs/Δt = (v₁+v₂)/2

Exercícios básicos

x
Exercício 1:

Renato Pé Murcho

Nos anos finais da década de 1970 surgiu no Guarani de Campinas um jogador muito talentoso chamado Renato. Atuava como meia armador e, tendo a seu lado o centroavante Careca, compôs um ataque arrasador que levou o Guarani ao título nacional.

Depois da conquista histórica Renato e Careca tiveram seus passes negociados, passando a defender o São Paulo. Com atuações brilhantes no tricolor foram convocados para a seleção brasileira de 1982, que disputou a Copa do Mundo na Espanha e que muitos consideram a melhor de todos os tempos, apesar da tragédia de Sarriá, quando o Brasil perdeu da Itália por 3 a 2 e ficou fora da competição.

Renato tinha o apelido de “Pé murcho”, o que nos leva a imaginar que os arremates não eram o seu forte. Em um jogo do São Paulo contra o Internacional de Porto Alegre, Renato chutou uma bola parada da meia lua da área em direção ao gol adversário. O goleiro fez a defesa e a Rede Globo informou com dados obtidos em seu novíssimo computador:

A bola viajou 15 metros, praticamente em linha reta, com aceleração escalar constante, tendo permanecido no ar durante 2 segundos. Imediatamente após o chute a velocidade da bola era de 10 m/s.

No momento em que os dados sobre a velocidade final e a aceleração escalar da bola seriam colocados no ar, houve uma pane elétrica nas cabines da imprensa.

Você faria a gentileza calcular os dados faltantes para que Galvão Bueno possa informar à galera? 

Resolução:

Sendo a aceleração da bola constante, vem:

s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2 => 15 = 0+10.2+α.2²/2 => α = -2,5 m/s² 
v = v₀ + α.t => v = 10+(-2,5).2 => v = 5,0 m/s

Resposta: v = 5,0 m/s
x
Exercício 2:
Um ciclista em movimento retilíneo e uniformemente variado passa pela origem O de sua trajetória com velocidade escalar +10 m/s e aceleração escalar -0,2 m/s². Qual é a máxima distância do ciclista à origem O?

Resolução:

A máxima distância do ciclista à origem O ocorre no instante em que a velocidade do ciclista se anula. A partir deste instante inverte-se o sentido do movimento. 

v = v₀ + α.t => 0 = +10+(-0,2).t => t = 50 s
s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2 => s = 0+10.50+(-0,2).(50)²2/2 => S = 250 m

Resposta: 250 m

Exercício 3:
Um móvel realiza um movimento retilíneo e uniformemente variado cuja função horária é, em unidades do SI, s = 5 + 8.t – 2.t².
Determine, entre os instantes t₁ = 1 s e t₂ = 3 s, a variação de espaço e a distância efetivamente percorrida pelo móvel.
 
Resolução:

Cálculo de Δs entre t₁ = 1 s e t₂ = 3 s
 
Para t₁ = 1 s, temos s₁ = 5 + 8.1 – 2.(1)² => s1 = 11 m
Para t₂ = 3 s, temos s₂ = 5 + 8.3 – 2.(3)² => s2 = 11 m
Δs = s₂ - s₁ = 11 m - 11 m = 0

Cálculo da distância máxima do móvel à origem

Comparando s = s₀ + v₀.t + (α.t²)/2 com s = 5+8.t-2t², vem:
v₀ = 8 m/s e α = -4 m/s²
v = v₀ + α.t = v = 8 - 4.t => 0 = 8 - 4.t => t = 2 s
Para t = 2 s, temos: s = 5+8.2-2.(2)² => s = 13 m

Cálculo da distância percorrida entre t₁ = 1 s e t₂ = 3 s
 
De 1 s a 2 s, temos:  Δs₁₂ = 13 m - 11 m = 2 m
De 2 s a 3 s, temos:  Δs₂₃ = 11 m - 13 m = -2 m

Distância percorrida d entre t₁ = 1 s e t₂ = 3 s

d = IΔs₁I + IΔs₂I = 2 m + 2 m = 4 m
 
Observação: Outra forma de calcular Δs entre t₁ = 1 s e t₂ = 3 s é somar Δs₁₂ e Δs₂₃ algebricamente

Δs = Δs₁₂ + Δs₂₃ = 2 m + (-2 m) = 0    

Respostas: Δs = 0; d = 4 m

Exercício 4:
A velocidade escalar de uma moto varia de 15 m/s a 5 m/s, após percorrer uma distância de 100 m em movimento uniformemente variado. Qual é a aceleração escalar da moto?
 
Resolução:

Da equação de Torricelli, temos: 

v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 5² = 15² + 2.α.100 => α = -1 m/s²

Resposta: -1 m/s² 
  
Exercício 5:
Um trem de 200 m de comprimento inicia a travessia de uma ponte de 100 m com velocidade escalar de 10 m/s e completa a travessia com velocidade escalar de
5 m/s. Considerando o movimento do trem uniformemente variado, determine o intervalo de tempo que dura a travessia.

Resolução:

v_m = Δs/Δt = (v₁+v₂)/2 => (L_trem+L_ponte)/Δt = (v₁+v₂)/2
(200+100)/Δt = (10+5)/2 => Δt = 40 s

Resposta: 40 s 

Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(Olimpíada Paulista de Física)
Um motorista está viajando de carro em uma estrada, a uma velocidade constante de 90 km/h, quando percebe um cavalo à sua frente e resolve frear, imprimindo uma desaceleração constante de 18 km/h por segundo. calcule:
 
a) a distância mínima de frenagem, em metros;
b) o tempo decorrido entre o instante da frenagem e a parada do carro, em segundos.

Resolução:

a) v₀ = 90 km/h = 90/3,6 m/s = 25 m/s 
α = -(18/3,6) m/s/1s = -5 m/s²
v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 0 = (25)²+2.(-5).Δs => Δs = 62,5 m
b) v = v₀ + α.t => 0 = 5+(-5).t => t = 5 s

Respostas: a) 62,5 m; b) 5 s

Revisão/Ex 2:
(UFSCAR-SP)
Uma partícula se move em linha reta com aceleração constante. Sabe-se que no intervalo de tempo de 10 s ela passa duas vezes pelo mesmo ponto dessa reta, com velocidade de mesmo módulo, v = 4,0 m/s, em sentidos opostos. A variação de espaço e a distância efetivamente percorrida pela partícula nesse intervalo de tempo são, respectivamente,

a) 0,0 m e 10 m
b) 0,0 m e 20 m
c) 10 m e 5,0 m
d) 10 m e 10 m

Resolução:

Cálculo da variação de espaço

Como a partícula passa duas vezes pelo mesmo ponto os espaços nos dois instantes correspondentes são iguais e, portanto, a variação de espaço é nula:
 
Cálculo da distância efetivamente percorrida

A partícula tem inicialmente velocidade de 4,0 m/s e depois de 5,0 s sua velocidade se anula: 
v = v₀ + α.t => 0 = 4,0+α.5 => α = -0,80 m/s²
Distância percorrida no intervalo de tempo de 0 a 5,0 s:
v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 0 = (4,0)²+2.(-0,80).Δs => Δs = 10 m
Portanto, a partícula percorre 10 m na ida e 10 m na volta, percorrendo uma distância total de 20 m.

Resposta: b

Revisão/Ex 3:
(Cesgranrio-RJ)
Um automóvel, partindo do repouso, leva 5,0 s para percorrer 25 m em movimento uniformemente variado. A velocidade final do automóvel é de:

a) 5,0 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 25 m/s

Resolução:

Adotando-se s₀ = 0 e sendo v₀ = 0, temos:
s = α.t²/2 => 25 = α.(5)²/2 = α = 2,0 m/s²
v = v₀ + α.t² => v = 0+2,0.5,0 => v = 10 m/s

Resposta: b

Revisão/Ex 4:
(FUVEST-SP)
Um carro viaja com velocidade escalar de 90 km/h (ou seja, 25 m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, o motorista ve um animal parado na pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carro percorre 15 m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0 m/s², mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo,

a) 15 m
b) 31,25 m
c) 52,5 m
d) 77,5 m

Resolução:

Com velocidade de 25 m/s o carro percorreu 15 m devido ao tempo de reação do motorista. Vamos, a seguir, calcular a distância percorrida durante o tempo em que o carro freou, impondo que a velocidade final seja zero:
v² = (v₀)² + 2.α.Δs => 0 = (25)²+2.(-5,0).Δs => Δs = 62,5 m
Distância total percorrida: 15 m + 62,5 m = 77,5 m

Resposta: d

Revisão/Ex 5:
(UF-ES)
Um objeto A encontra-se parado, quando por ele passa um objeto B, com velocidade constante de módulo igual a 8,0 m/s. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração constante, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Os objetos A e B descrevem uma mesma trajetória retilínea. O módulo da velocidade do objeto A, no instante em que ele alcança o objeto B, vale:

a) 4,0 m/s
b) 8,0 m/s
c) 16 m/s
d) 32 m/s
e) 64 m/s

Resolução:

 

s_A = 1/2.α.t²

s_B = 8.t 

No encontro: 1/2.α.t² = 8.t => α.t = 16 m/s

Velocidade de A no instante em que alcança B:t²

v = v₀ + α.t => v = α.t => v = 16 m/st²

Resposta: c