Cursos do Blog - Mecânica

12ª aula
Vetores (II)

Borges e Nicolau

Lembrete:

A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).

Vetor

É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.

Produto de um número real por um vetor

Clique para ampliar

Componentes de um vetor

Clique para ampliar

Animações:

Adição vetorial - Clique aqui

Vetor oposto / Subtração vetorial - Clique aqui

Produto de um número real por um vetor - Clique aqui

Componentes de um vetor - Clique aqui

Exercícios básicos

Notação vetorial em negrito.

Exercício 1:

É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v

Clique para ampliar

Resolução:

2v tem a mesma direção e o mesmo sentido de v e módulo duas vezes maior
-v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de v

 Clique para ampliar

Exercício 2:

No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.

Clique para ampliar

Resolução:

a = 3j
b = 2i
c = 3i + 3j 

Exercício 3:

No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E.

Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 10⁵ N/C. Represente as forças eletrostáticas F_A e F_B que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos:

a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC

Clique para ampliar

Resolução:

1) F_A = IqI.E = 2.10^-6.10⁵ => F_A = 0,2 N => 2 quadradinhos

F_A tem a mesma direção e o mesmo sentido de E

2) F_B = IqI.E = 3.10^-6.10⁵ => F_B = 0,3 N => 3 quadradinhos

F_B tem a mesma direção e sentido oposto ao de E

 Clique para ampliar

 

Exercício 4:

Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente  da força F na direção perpendicular ao solo?

Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.

Clique para ampliar

Resolução:

A componente de F perpendicular ao solo (F_Y) é igual a F.sen θ, ou 100.0,6

=> F_Y = 60 N

Exercício 5:

Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b).

Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87

 Clique para ampliar

Resolução: 

a_x = a.cos 60º => a_x = 10.0,50 => a_x = 5,0 u;
a_Y = a.sen 60º => a_Y = 10.0,87 => a_Y = 8,7 u;  
b_x = b.cos 30º => b_x = 10.0,87 => b_x = 8,7 u; 
b_Y = b.sen 30º => b_Y = 10.0,50 => b_Y = 5,0 u;  
s_x = a_x+b_x = 13,7 u; s_Y = a_Y+b_Y = 13,7 u

Exercício 6:

Numa partícula agem três forças F₁, F₂ e F₃, de mesmo módulo igual a 10 N.

a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F₄ capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F₁, F₂ e F₃.

Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x

 Clique para ampliar

Resolução:

a)
F_1x = -10 N; F_1y = 0

F_2x = 0; F_2y = -10 N

F_3x = F₃.cos θ = 10.0,8 => F_3x = 8 N

F_3y = F₃.sen θ = 10.0,6 => F_3y = 6 N

b)

F_1x + F_2x + F_3x + F_4x = 0 => (-10) + 0 + 8 + F_4x = 0 => F_4x = 2 N

F_1y + F_2y + F_3y + F_4y = 0 => 0 + (-10) + 6 + F_4y = 0 => F_4y = 4 N
 

Exercícios de revisão

Revisão/Ex 1:
(UFU-MG)
A grandeza escalar é:

a) Impulso
b) Campo elétrico
c) aceleração  da gravidade
d) trabalho

Resolução:

Das grandezas apresentadas, a grandeza física trabalho é escalar. As três outras são vetoriais.

Resposta: d

Revisão/Ex 2:
(FSM-SP)
Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então:

a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0.
b) o vetor w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0.
c) a direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k.
d) se a direção de w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0.

Resolução:

o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. e sentido contrário de v, se k < 0.
A direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k. A alternativa errada é a d.

Resposta: d

Revisão/Ex 3:
(ACAFE-SC)
O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo.

Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, são:

A) -20√3 e 20
B) 20 e 20√3
C) -20 e 20√3
D) 20√3 e -20
E) -20√3 e -20 

Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2

Resolução:

A_x = -A.cos 60° = -40.(1/2) = -20 
A_y = A.sen 60°= 40.(√3/2) = 20.√3

Resposta: c

Revisão/Ex 4:
(UNIFESP-SP)
Na figura são dados os vetores a, b e c.

Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo

a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido horário.
e) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti-horário.

Resolução:

Da figura observamos que a subtração entre os vetores a e b é o vetor nulo. Assim, d = a – b + c = c. O vetor c tem módulo 2u, direção vertical e sentido para baixo.

Resposta: b

Revisão/Ex 5:
(UFLA-MG)
Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula.

                   
Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a √6, podemos afirmar que os módulos de a e c valem, respectivamente:

a) 3 e (3√2 + √6)/2
b) √6/2 e 2√3
c) 3√2 e 3
d) 6 e 3
e) 3 e 3√2

Dados:
sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2
sen 45° = cos 45° = √2/2

Resolução:

Vamos inicialmente decompor os vetores a e b:

Sendo a resultante nula, podemos escrever:
b.sen 60° = a.sen 45° =>  √6.(√3/2) = a.(√2/2) => a = 3
c = b.cos 60° + a.cos 45° => c = √6.(1/2) + 3.(√2/2) => c = (√6 + 3√2)/2

Resposta: a