Capacitância eletrostática de um condutor isolado
Borges e Nicolau
Ao eletrizarmos um condutor com carga elétrica Q, ele adquire potencial elétrico V. Alterando-se a carga elétrica Q, o potencial elétrico V do condutor se altera na mesma proporção. Isto significa que Q e V são grandezas diretamente proporcionais. Portanto o quociente Q/V é constante e recebe o nome de capacitância C do condutor.
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Capacitância eletrostática de um condutor esférico de raio R
O potencial elétrico de qualquer ponto de um condutor esférico é dado por
V = k0.Q/R.
Substituindo-se em C = Q/V, resulta:
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x
Exercício 1:
Um condutor eletrizado com carga elétrica Q = 3 μC, adquire potencial elétrico
Um condutor eletrizado com carga elétrica Q = 3 μC, adquire potencial elétrico
V = 2.103 volts.
a) Determine a capacitância do condutor em nF (nano farad).
b) Dobrando-se a carga elétrica do condutor o que ocorre com o seu potencial elétrico?
a) Determine a capacitância do condutor em nF (nano farad).
b) Dobrando-se a carga elétrica do condutor o que ocorre com o seu potencial elétrico?
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a) C = Q/V => C = 3.10-6 coulomb/2.103 volts => C = 1,5.10-9 F = 1,5 nF
Exercício 2:
Um condutor está eletrizado com carga elétrica Q = 6 μC e sob potencial elétrico
a) C = Q/V => C = 3.10-6 coulomb/2.103 volts => C = 1,5.10-9 F = 1,5 nF
b) Q = C.V: como C é constante, para um dado condutor, dobrando-se Q concluímos que V também dobra.
Respostas:
a) C = 1,5 nF
b) O potencial elétrico do condutor também dobra
xa) C = 1,5 nF
b) O potencial elétrico do condutor também dobra
Exercício 2:
Um condutor está eletrizado com carga elétrica Q = 6 μC e sob potencial elétrico
V = 5.103 volts. Se a carga elétrica do condutor for reduzida a Q’ = 1,5 μC, qual será seu novo potencial elétrico V’?
Resolução: clique aqui
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C = Q/V = Q’/V’ => 6 μC/5.103 volts = 1,5 μC/V’ => V’ = 1,25.103 volts
Resposta: V’ = 1,25.103 volts
Resposta: V’ = 1,25.103 volts
Exercício 3:
Qual deveria ser o raio de um condutor esférico para que sua capacitância fosse igual a 1 μF?
Dado: k0 = 9.109 N.m2/C2.
Qual deveria ser o raio de um condutor esférico para que sua capacitância fosse igual a 1 μF?
Dado: k0 = 9.109 N.m2/C2.
Exercício 4:
Dois condutores esféricos, A e B, possuem raios R e r/2, respectivamente. O primeiro é de ferro e o segundo é de cobre. Eles estão imersos no ar.
Sejam CA e CB suas capacitâncias. Tem-se:
a) CA = CB
b) CA = 2CB
c) CA = CB/2
d) CA < CB pois a densidade do ferro é maior do que a do cobre.
e) Quando eletrizados sob mesmo potencial elétrico o condutor B armazena maior carga elétrica.
Dois condutores esféricos, A e B, possuem raios R e r/2, respectivamente. O primeiro é de ferro e o segundo é de cobre. Eles estão imersos no ar.
Sejam CA e CB suas capacitâncias. Tem-se:
a) CA = CB
b) CA = 2CB
c) CA = CB/2
d) CA < CB pois a densidade do ferro é maior do que a do cobre.
e) Quando eletrizados sob mesmo potencial elétrico o condutor B armazena maior carga elétrica.
Resolução:
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Sendo CA = R/k0 e CB = (R/2)/k0 = (1/2).(R/k0), vem: CB = CA/2 =>
CA = 2CB.
Observe que a capacitância depende do raio do condutor e do meio onde está imerso. Não depende da natureza do material condutor.
De Q = C.V, concluímos que sob mesmo potencial V, o condutor de maior capacitância armazena maior carga elétrica.
Resposta: b
Sendo CA = R/k0 e CB = (R/2)/k0 = (1/2).(R/k0), vem: CB = CA/2 =>
CA = 2CB.
Observe que a capacitância depende do raio do condutor e do meio onde está imerso. Não depende da natureza do material condutor.
De Q = C.V, concluímos que sob mesmo potencial V, o condutor de maior capacitância armazena maior carga elétrica.
Resposta: b
Exercício 5:
Uma bexiga de forma esférica possui raio R e está eletrizada com carga elétrica Q, uniformemente distribuída em sua superfície. Seja C sua capacitância e V seu potencial elétrico. Infla-se a bexiga de modo que seu raio passa a ser igual a 2R e sua carga elétrica permanece igual a Q. Nesta nova condição, a capacitância da bexiga e o seu potencial elétrico são, respectivamente, iguais a:
Uma bexiga de forma esférica possui raio R e está eletrizada com carga elétrica Q, uniformemente distribuída em sua superfície. Seja C sua capacitância e V seu potencial elétrico. Infla-se a bexiga de modo que seu raio passa a ser igual a 2R e sua carga elétrica permanece igual a Q. Nesta nova condição, a capacitância da bexiga e o seu potencial elétrico são, respectivamente, iguais a:
a) 2C e V
b) 2C e 2V
c) 2C e V/2
d) C/2 e V/2
e) C/2 e 2V
b) 2C e 2V
c) 2C e V/2
d) C/2 e V/2
e) C/2 e 2V
Resolução:
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Revisão/Ex 1:
(PUC-CAMPINAS)
Se a Terra for considerada um condutor esférico (R = 6300 km), situada no vácuo, sua capacitância, para k0 = 9x109 m/F, será aproximadamente:
a) 500 μF
b) 600 μF
c) 700 μF
d) 6300 μF
e) 700 F
Resolução: clique aqui
C = R/k0 => C = 6,3.106m/9.109(m/F) => C = 700.10-6 F = 700 μF
Resposta: c
Revisão/Ex 2:
(PUC-SP)
Uma esfera metálica oca (A) e outra maciça (B) têm diâmetros iguais. A capacidade elétrica de A, no mesmo meio que B:
(a) depende da natureza do metal de que é feita;
(b) depende de sua espessura;
(c) é igual à de B;
(d) é maior que a de B;
(e) é menor que a de B.
Resolução: clique aqui
A capacitância de um condutor esférico depende do raio do condutor e do meio onde está imerso. Não depende da natureza do material condutor.
Como os condutores têm o mesmo raio e estão imersos no mesmo meio, suas capacitâncias são iguais.
Resposta: c
Revisão/Ex 3:
Sejam dados dois condutores: o primeiro com uma carga elétrica Q1 = 20 µC e potencial V1 = 50.103 V, e o segundo com carga elétrica Q2 = 40 µC e potencial V2 desconhecido. Sabendo-se que a capacitância eletrostática do primeiro é três vezes maior que a do segundo, determine:
a) o potencial V2 do segundo condutor.
b) a capacitância C1 do primeiro condutor.
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a) C1 = 3.C2 => Q1/V1 = 3.Q2/V2 => 20/50.103 = 3.40/V2 => V2 = 3.105 V
b) C1 = Q1/V1 => C1 = 20.10-6/50.103 => C1 = 4.10-10 F
Respostas:
a) 3.105 V b) 4.10-10 F
Revisão/ Ex 4:
Dois condutores esféricos A e B são eletrizados adquirindo o mesmo potencial elétrico. A carga elétrica adquirida pelo condutor A e maior do que a de B. Qual dos condutores têm maior capacitância? Qual deles têm maior raio? Considere os condutores imersos no mesmo meio.
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De CA = QA/V e CB = QB/V e sendo QA > QB, resulta CA > CB.
De CA = RA/k0 e CB = RB/k0 e sendo CA > CB, resulta RA > RB.
Resposta:
O condutor A tem maior capacitância e maior raio.
Revisão/ Ex 5:
(Fuvest-SP)
Dois condutores esféricos A e B, de raios respectivos R e 2R, estão isolados e muito distantes um do outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial da primeira é igual o dobro da densidade superficial da segunda. Interligam-se as duas esferas por um fio condutor. Diga se uma corrente elétrica se estabelece no fio e, em caso afirmativo, qual sentido da corrente. Justifique sua resposta.
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De C = R/k0 e C’ = 2R/k0, vem: C’ = 2C
Sendo C’ = 2C, resulta: Q/V' = 2. Q/V => V’ = V/2
Resposta: c
Exercícios de revisão
Sendo C’ = 2C, resulta: Q/V' = 2. Q/V => V’ = V/2
Resposta: c
Exercícios de revisão
Revisão/Ex 1:
(PUC-CAMPINAS)
Se a Terra for considerada um condutor esférico (R = 6300 km), situada no vácuo, sua capacitância, para k0 = 9x109 m/F, será aproximadamente:
a) 500 μF
b) 600 μF
c) 700 μF
d) 6300 μF
e) 700 F
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C = R/k0 => C = 6,3.106m/9.109(m/F) => C = 700.10-6 F = 700 μF
Resposta: c
Revisão/Ex 2:
(PUC-SP)
Uma esfera metálica oca (A) e outra maciça (B) têm diâmetros iguais. A capacidade elétrica de A, no mesmo meio que B:
(a) depende da natureza do metal de que é feita;
(b) depende de sua espessura;
(c) é igual à de B;
(d) é maior que a de B;
(e) é menor que a de B.
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A capacitância de um condutor esférico depende do raio do condutor e do meio onde está imerso. Não depende da natureza do material condutor.
Como os condutores têm o mesmo raio e estão imersos no mesmo meio, suas capacitâncias são iguais.
Resposta: c
Revisão/Ex 3:
Sejam dados dois condutores: o primeiro com uma carga elétrica Q1 = 20 µC e potencial V1 = 50.103 V, e o segundo com carga elétrica Q2 = 40 µC e potencial V2 desconhecido. Sabendo-se que a capacitância eletrostática do primeiro é três vezes maior que a do segundo, determine:
a) o potencial V2 do segundo condutor.
b) a capacitância C1 do primeiro condutor.
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a) C1 = 3.C2 => Q1/V1 = 3.Q2/V2 => 20/50.103 = 3.40/V2 => V2 = 3.105 V
b) C1 = Q1/V1 => C1 = 20.10-6/50.103 => C1 = 4.10-10 F
Respostas:
a) 3.105 V b) 4.10-10 F
Revisão/ Ex 4:
Dois condutores esféricos A e B são eletrizados adquirindo o mesmo potencial elétrico. A carga elétrica adquirida pelo condutor A e maior do que a de B. Qual dos condutores têm maior capacitância? Qual deles têm maior raio? Considere os condutores imersos no mesmo meio.
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De CA = QA/V e CB = QB/V e sendo QA > QB, resulta CA > CB.
De CA = RA/k0 e CB = RB/k0 e sendo CA > CB, resulta RA > RB.
Resposta:
O condutor A tem maior capacitância e maior raio.
Revisão/ Ex 5:
(Fuvest-SP)
Dois condutores esféricos A e B, de raios respectivos R e 2R, estão isolados e muito distantes um do outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial da primeira é igual o dobro da densidade superficial da segunda. Interligam-se as duas esferas por um fio condutor. Diga se uma corrente elétrica se estabelece no fio e, em caso afirmativo, qual sentido da corrente. Justifique sua resposta.
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Para um condutor esférico a densidade elétrica superficial σ é dada por
σ = Q/4.π.R2. Portanto, Q = σ.4.π.R2.
O potencial elétrico de um condutor esférico é dado por; V = k0.Q/R. Substituindo-se Q, vem:
V = k0.Q/R => V = k0.σ.4.π.R2/R => V = k0.σ.4.π.R
Como o condutor A tem a metade do raio de B e o dobro da densidade elétrica superficial, concluímos que os dois condutores têm o mesmo potencial elétrico. Logo, não havendo diferença de potencial entre eles, não há passagem de carga elétrica de um para outro, isto é, não se estabelece corrente elétrica no fio que os liga.
V = k0.Q/R => V = k0.σ.4.π.R2/R => V = k0.σ.4.π.R
Como o condutor A tem a metade do raio de B e o dobro da densidade elétrica superficial, concluímos que os dois condutores têm o mesmo potencial elétrico. Logo, não havendo diferença de potencial entre eles, não há passagem de carga elétrica de um para outro, isto é, não se estabelece corrente elétrica no fio que os liga.
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