Borges e Nicolau
Introdução à Hidrodinâmica
Professor Paulo Cesar M. Penteado
Licenciado em Física pela Universidade Federal de Santa Catarina. Autor da obra Física Conceitos e Aplicações, Coautor das obras Física Ciência e Tecnologia e Física (coleção Vereda Digital)
Primeira aula: Conceitos básicos. Equação da continuidade. Exercícios
Conceitos básicos
No ensino de nível médio, geralmente, é estudado apenas o equilíbrio estático dos fluidos, a hidrostática. Na hidrostática são discutidos, principalmente, os conceitos de pressão em um ponto no interior de um líquido em equilíbrio e o empuxo exercido em um corpo imerso em um fluido em repouso.
Iremos agora fazer um estudo mais complexo, os fluidos em movimento. Nesse ramo da Física, denominado hidrodinâmica, muitos aspectos dos movimentos dos fluidos ainda estão sendo objeto de estudo. Entretanto, supondo algumas simplificações, podemos ter um bom entendimento sobre o assunto.
Para começar, devemos distinguir dois tipos principais de fluxo de um fluido.
Se observarmos água, na qual estão dispersas partículas coloridas, fluindo através de um tubo de vidro podemos perceber que, de modo bastante frequente, o fluido não se move em linhas paralelas às paredes do tubo, mas de uma maneira bastante irregular. Além do movimento ao longo do eixo do tubo, podemos observar que ocorrem movimentos na direção perpendicular ao eixo do tubo. Nesse caso, o fluxo é denominado fluxo turbulento.
Entretanto, quando a velocidade de escoamento diminui abaixo de um certo valor, que depende de uma série de fatores, as partículas do fluido passam a se movimentar em trajetórias paralelas às paredes do tubo. Nesse caso, o fluxo de fluido é suave e passa a ser denominado fluxo laminar.
Na hidrodinâmica, visando facilitar a visualização do fluxo de um fluido, é útil o conceito de linha de corrente. A linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é tangente ao vetor velocidade do fluido. Dessa maneira, a partir das linhas de corrente podemos visualizar o comportamento do fluido durante seu movimento.
A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de fluido ao redor de um corpo. Observe o comportamento das linhas de corrente no fluxo laminar e compare com o fluxo turbulento.
No estudo que iniciamos agora, vamos considerar apenas o fluxo laminar dos fluidos. Iremos considerar também, que o fluxo, além de laminar, é estacionário (ou permanente). Um fluxo de fluido é dito estacionário quando, em qualquer ponto, a velocidade, a pressão e a densidade do fluido permanecem constantes.
Equação da continuidade
Consideremos um fluido em um fluxo laminar estacionário no interior de um tubo de diâmetro variável como o mostrado na figura a seguir.
O fluxo de massa de fluido é definido como Δm/Δt, em que Δm é a massa de fluido que escoa através de uma secção transversal do tubo no intervalo de tempo Δt.
Calculemos, então, o fluxo de massa do fluido através da secção transversal
de área S1.
Observe que o volume de fluido1que passa através dessa secção transversal, no intervalo de tempo Δt é dado por S1.Δx1, em que Δx1 é a distância percorrida pelo fluido no intervalo de tempo Δt.
Então, sendo ρ1 a densidade do fluido nessa região do tubo temos:
Δm/Δt = (ρ1.ΔV1)/Δt = (ρ1.S1.Δx1)/Δt = ρ1.S1.v1
De maneira análoga, na região do tubo onde a secção transversal tem área S2, teremos:
x
Δm/Δt = (ρ2.ΔV2)/Δt = (ρ2.S2.Δx2)/Δt = ρ2.S2.v2
Observe que a massa de fluido que passa por uma dada secção transversal do tubo, em um dado intervalo de tempo, é a mesma, qualquer que seja a posição do tubo em que a secção é considerada.
Portanto, como o fluxo de massa é constante ao longo do tubo devemos ter:
ρ1.S1.v1 = ρ2.S2.v2 (Equação da continuidade)
Se o fluido é incompressível, o que é uma excelente aproximação no caso dos líquidos na maioria das situações (e algumas vezes até mesmo para os gases), então ρ1 =xρ2 e a equação da continuidade torna-se mais simples:
x
S1.v1 = S2.v2 (Com ρ constante)
A partir dessa relação simplificada, podemos concluir que se o diâmetro do tubo diminui, então a velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo deve aumentar e vice-versa.
Isso faz sentido e pode ser observado no escoamento das águas de um rio. Nas regiões em que o rio é largo, a correnteza é mansa e a água flui calmamente. Entretanto, quando o rio se estreita e as margens estão mais próximas, a correnteza atinge velocidades bem maiores e a água flui de maneira turbulenta.
Observe também que o produto S.v corresponde à vazão em volume ΔV/Δt, pois:
x
ΔV/Δt = S.Δx/Δt = S.v
Portanto, a equação da continuidade impõe que a vazão em volume através da tubulação é constante em qualquer secção transversal que se considere.
Exercícios
x
Exercício 1:
O raio da aorta é cerca de 1,0 cm e o sangue flui através dela com velocidade de 30,0 cm/s. Calcule a velocidade média do sangue nos capilares dado que, cada capilar tem um diâmetro interno de cerca de 8.10-4 cm, e que existem literalmente bilhões deles, de modo que a área de secção transversal total dos capilares é de cerca de 2.000 cm2.
Resolução:
Seja S1 = π.r2, em que r = 1,0 cm, a área da secção transversal da aorta e v1 a velocidade do fluxo sanguíneo através dela. Para os capilares, seja S2 a área de secção transversal total e v2 a velocidade do fluxo sanguíneo através de cada capilar. Pela equação da continuidade devemos ter:2
Então: π.(1,0)2.30,0 = 2000.v2 => v2 = 0,05 cm/s = 0,5 mm/s
Exercício 2:
Qual deverá ser a área de secção transversal de uma tubulação, em que ar se move a 3,0 m/s, de modo a permitir a renovação do ar, a cada 15 minutos, em um quarto com 300 m3 de volume? Admita que a densidade do ar permaneça constante.
Resolução:
Podemos aplicar a equação da continuidade a esse problema se admitirmos que o ambiente seja parte da tubulação através da qual o ar irá fluir. Note que: S2.v2 = S2.(Δx2/Δt) = V2/Δt, em que V2 é o volume do quarto. Então, pela equação da continuidade: S1.v1 = S2.v2 => S1.v1 = V2/Δt.
S1.3,0 = 300/(15.60) => S1 ≅ 0,11 m2
Se a tubulação tiver uma secção transversal circular, então S = π.r2 e o raio da tubulação a ser usada deve ser de, aproximadamente, 0,19 m ou 19 cm.
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