Caiu no vestibular

Recordando Análise Dimensional

Borges e Nicolau

As grandezas fundamentais da Mecânica são massa, comprimento e tempo, representadas por M, L e T. Qualquer outra grandeza da Mecânica pode ser expressa em função de M, L e T elevados a expoentes α, β e γ. Assim podemos escrever a equação dimensional de uma determinada grandeza G, indicada por [G]:

[G] = M^α.L^β.T^γ

Os expoentes α, β e γ são as dimensões da grandeza  em relação a M, L e T, respectivamente.

Vamos escrever as equações dimensionais de velocidade e aceleração:

v = Δs/Δt => [v] = [Δs]/[Δt] = L/T => [v] = M⁰.L.T^-1

α = Δv/Δt => [α] = [Δv]/[Δt] = M⁰.L.T^-1/T => [α] = M⁰.L.T^-2

Previsão de fórmulas

Vamos supor que o período t de oscilação de um pêndulo simples dependa da massa pendular m, do comprimento do pêndulo l e da aceleração da gravidade g.

Podemos escrever:

t = K. m^α.l^β.g^γ

Sendo K uma constante adimensional, vamos obter α, β e γ.

Dados: [t] = M⁰.L⁰.T; [m] = M.L⁰.T⁰; [l] = M⁰.L.T⁰; [g] = M⁰.L.T^-2

Substituindo as expressões de [t], [m], [l] e [g] na equação  
[t] = [m]^α . [l]^β . [g]^γ, temos:

M⁰.L⁰.T = (M.L⁰.T⁰)^α . (M⁰.L.T⁰)^β . (M⁰.L.T^-2)^γ => M⁰.L⁰.T = M^α.L^β+γ.T^-2γ 

Identificando os expoentes temos: α = 0; β + γ = 0 e -2γ = 1

Logo: α = 0, γ = -1/2 e β = +1/2

Assim temos: t = K. m^α.l^β.g^γ =>  t = K. m⁰.l^1/2.g^-1/2) => t = K.√(l/g)

Caiu no vestibular

Velocidade da onda sonora

(IME-RJ)
Suponha que o módulo da velocidade de propagação V de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específica do meio µ, de acordo com a expressão:
V = p^x.μ^y
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.

Resolução: 

v = p^x.μ^y => [v] = [p]^x.[μ]^y => M⁰.L.T^-1 = (M.L^-1.T^-2)^x.(M.T⁰.L^-3.)^y => 
M⁰.L.T^-1 = M^x+y.L^-x-3y.T^-2x  

Então temos:

x + y = 0
-x - 3y = 1
-2x = -1

x = 1/2 e 1/2 + y = 0 => y = -1/2

Portanto: v = p^1/2.μ^-1/2 => v = √(p/µ)