Lançamento Oblíquo
Borges e Nicolau
Considere um móvel P lançado obliquamente com velocidade vo nas proximidades da superfície terrestre. Seja θ o ângulo que vo forma com a horizontal, denominado ângulo de tiro. Vamos desprezar a resistência do ar. O movimento de P pode ser considerado como a composição de dois movimentos, um horizontal Px e outro vertical Py.
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Componentes horizontal e vertical da velocidade inicial:
vx = v0 . cos θ
v0y = v0 . sen θ
Movimento vertical:
Lançamento vertical para cima (MUV) com velocidade voy = vo.sen θ
y = v0y.t + (α/2).t2
vy = v0y + α.t
(vy)2 = (voy)2+ 2.α.y
α = -g
(eixo orientado para cima)
Movimento horizontal: Uniforme com velocidade vx = v0.cos θ
x = vx.t
Cálculo do tempo de subida ts:
t = ts quando vy = 0 => vy = voy - g.t => 0 = voy - g.t
ts = v0y/g
Cálculo do alcance A:
x = A quando t = 2ts =>
A = vx.2ts
O tempo total do movimento é igual a 2ts pois os tempos de subida e de descida ts e td são iguais.
Altura máxima H:
y = H quando vy = 0 => (vy)2 = (voy)2 - 2.g.y => 0 = (voy)2 - 2.g.H
H = (voy)2/2g
A velocidade resultante do móvel em cada instante é:
v = vx + vy
(Em negrito: notação vetorial)
(Em negrito: notação vetorial)
Exercícios básicos
Exercício 1:
Uma bola de tênis é lançada obliquamente de um ponto O com velocidade v0, de módulo 10 m/s, formando um ângulo θ com o solo horizontal, tal que sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8.
Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
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Determine: vx, voy, ts, A e H
Resolução:
vx = v0.cos θ = 10.0,8 => vx = 8 m/s
v0y = v0.sen θ = 10.0,6 => v0y = 6 m/s
vy = v0y-g.t => 0 = 6-10.ts => ts = 0,6 s
x = vx.t => A = vx.2.ts => A = 8.2.0,6 => A = 9,6 m
(vy)2 = (v0y)2 - 2.g.Δy => 0 = (6)2 - 2.10.H => H = 1,8 m
Respostas: 8 m/s; 6 m/s; 0,6 s; 9,6 m; 1,8 m.
Exercício 2:
Uma bola de tênis é lançada obliquamente com velocidade vo = 5 m/s de um local do solo, suposto horizontal. Determine o alcance A e a altura máxima H, nos casos:
a) O ângulo de tiro é θ = 30º;
a) O ângulo de tiro é θ = 60º.
Dados:
sen 30º = cos 60º = 0,5
sen 60º = cos 30º = √3/2
Resolução:
a)
vx = v0.cos 30º = 5.(√3/2) => vx = 5.√3/2 m/s
v0y = v0.sen 30º = 5.0,5 => v0y = 2,5 m/s
vy = v0y-g.t => 0 = 2,5-10.ts => ts = 0,25 s
x = vx.t => A = vx.2.ts => A = 5.(√3/2).2.0,25 => A = 5.√3/4 m
(vy)2 = (v0y)2 - 2.g.Δy => 0 = (2,5)2 - 2.10.H => H = 0,3125 m
b)
vx = v0.cos 60º = 5.0,5 => vx = 2,5 m/s
v0y = v0.sen 60º = 5.√3/2 => v0y = 5.√3/2 m/s
vy = v0y-g.t => 0 = 5.√3/2-10.ts => ts = √3/4 s
x = vx.t => A = vx.2.ts => A = 2,5.2.√3/4 => A = 5.√3/4 m
(vy)2 = (v0y)2 - 2.g.Δy => 0 = (5.√3/2)2 - 2.10.H => H = 0,9375 m
Respostas: a) 5.√3/4 m; 0,3125 m; b) 5.√3/4 m; 0,9375 m
Exercício 3:
Com base no exercício anterior, podemos concluir que, para a mesma velocidade de lançamento, a bola de tênis atinge o mesmo valor para __________________, pois os ângulos de tiro são __________________. As palavras que preenchem corretamente os espaços indicados são, respectivamente:
a) a altura máxima e suplementares;
b) a altura máxima e complementares;
c) o alcance e suplementares;
d) o alcance e complementares;
e) o tempo de subida e complementares.
Resolução:
Para a mesma velocidade de lançamento, a bola de tênis atinge o mesmo valor para o alcance pois os ângulos de tiro são complementares.
Resposta: d
Exercício 4:
Um projétil é lançado obliquamente com velocidade inicial de módulo
20 m/s, formando ângulo θ com a horizontal, tal que sen θ = 0,8 e
cos θ = 0,6. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
Determine:
a) o módulo da velocidade mínima atingida pelo projétil;
b) as componentes horizontal e vertical da velocidade e o módulo da velocidade resultante no instante t = 1 s.
Resolução:
a) No instante em que o projétil atinge o vértice da parábola a velocidade é mínima.
Neste instante vy = 0 e vmin = vx = v0.cos θ = 20.0,6 => vmin = vx = 12 m/s.
b) No instante t = 1s, temos:
vx = 12 m/s e v0y = v0.cos θ => v0y = 20.0,8 => v0y = 16 m/s
vy = v0y-g.t => vy = 16-10.1=> vy = 6 m/s
v2 = vx2 + vy2 => v2 = (12)2 + (6)2 => v = 6.√5 m/s
Respostas: a) 12 m/s; b) 12 m/s; 6 m/s; 6.√5 m/s
Exercício 5:
Num jogo de futebol o goleiro bate um tiro de meta e a bola é lançada de modo que as componentes horizontal e vertical de sua velocidade inicial sejam iguais a 10 m/s. Em sua trajetória a bola passa por dois pontos, A e B, situados a uma mesma altura hx=x3,2 m em relação ao gramado.
Considere que a bola está sob ação exclusiva da gravidade e
seja g = 10 m/s2.
a) o módulo da velocidade mínima atingida pelo projétil;
b) as componentes horizontal e vertical da velocidade e o módulo da velocidade resultante no instante t = 1 s.
Resolução:
a) No instante em que o projétil atinge o vértice da parábola a velocidade é mínima.
Neste instante vy = 0 e vmin = vx = v0.cos θ = 20.0,6 => vmin = vx = 12 m/s.
b) No instante t = 1s, temos:
vx = 12 m/s e v0y = v0.cos θ => v0y = 20.0,8 => v0y = 16 m/s
vy = v0y-g.t => vy = 16-10.1=> vy = 6 m/s
v2 = vx2 + vy2 => v2 = (12)2 + (6)2 => v = 6.√5 m/s
Respostas: a) 12 m/s; b) 12 m/s; 6 m/s; 6.√5 m/s
Exercício 5:
Num jogo de futebol o goleiro bate um tiro de meta e a bola é lançada de modo que as componentes horizontal e vertical de sua velocidade inicial sejam iguais a 10 m/s. Em sua trajetória a bola passa por dois pontos, A e B, situados a uma mesma altura hx=x3,2 m em relação ao gramado.
Considere que a bola está sob ação exclusiva da gravidade e
seja g = 10 m/s2.
a) Determine o intervalo de tempo decorrido entre as passagens pelos pontos A e B.
b) A distância entre A e B.
Resolução:
a)
y = v0y.t - g.t2/2 => 3,2 = 10.t - 5.t2 => 5.t2 - 10.t +3,2 = 0 =>
raízes: t1 = 0,4 s e t2 = 1,6 s => Δt = 1,6 s - 0,4 s = 1,2 s
b)
d = xB - xA = vx.Δt => d = 10.1,2 => d = 12 m
Respostas: a) 1,2 s; b) 12 m
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