Cursos do Blog - Mecânica

Vetores (II)

Borges e Nicolau

Lembrete:

A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).

Vetor

É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.

Produto de um número real por um vetor

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Componentes de um vetor

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Animações:

Adição vetorial - Clique aqui

Vetor oposto / Subtração vetorial - Clique aqui

Produto de um número real por um vetor - Clique aqui

Componentes de um vetor - Clique aqui

Exercícios básicos

Notação vetorial em negrito.

Exercício 1:

É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v

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Resolução:

2v tem a mesma direção e o mesmo sentido de v e módulo duas vezes maior
-v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de v

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Exercício 2:

No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.

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Resolução:

a = 3j
b = 2i
c = 3i + 3j

Exercício 3:

No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E.

Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 10⁵ N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B nos casos:

a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC

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Resolução:

1) FA = IqI.E = 2.10^-6.10⁵ => FA = 0,2 N => 2 quadradinhos

FA tem a mesma direção e o mesmo sentido de E

2) FB = IqI.E = 3.10^-6.10⁵ => FA = 0,3 N => 3 quadradinhos

FB tem a mesma direção e sentido oposto ao de E

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Exercício 4:

Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente  da força F na direção perpendicular ao solo?

Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.

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Resolução:

A componente de F perpendicular ao solo (FY) é igual a F.sen θ, ou 100.0,6

=> FY = 60 N

Exercício 5:

Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b).

Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87

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Resolução:

aX = a.cos 60º => aX = 10.0,50 => aX = 5,0 u;
aY = a.sen 60º => aY = 10.0,87 => aY = 8,7 u;
bX = b.cos 30º => bX = 10.0,87 => bX = 8,7 u;
bY = b.sen 30º => bY = 10.0,50 => bY = 5,0 u;
sX = aX+bX = 13,7 u; sY = aY+bY = 13,7 u

Exercício 6:

Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 N.

a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.

Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8

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Resolução:

a)

F1x = -10 N; F1y = 0

F2x = 0; F2y = -10 N

F3x = F3.cos θ = 10.0,8 => F3x = 8 N

F3y = F3.sen θ = 10.0,6 => F3y = 6 N

b)

F1x + F2x + F3x + F4x = 0 => (-10) + 0 + 8 + F4x = 0 => F4x = 2 N

F1y + F2y + F3y + F4y = 0 => 0 + (-10) + 6 + F4y = 0 => F4y = 4 N

Arte do Blog

Modelo com autorretrato - 1977

David Hockney

David Hockney, pintor, desenhista, gravador, cenógrafo e fotógrafo, nasceu na Inglaterra, na cidade de Bradford, no dia 9 de julho de 1937. Sua obra está situada no movimento pop da década de 1960, com significado marcante perante o mundo das artes. David Hockney pode ser considerado um dos mais influentes artistas britânicos do século XX.

Retrato de um artista (Piscina com duas figuras) - 1971

Hockney frequentou a Escola Primária de Wellington, então Bradford Grammar School, depois o Bradford College of Art e o Royal College of Art em Londres. No período de estudante no Royal College of Art, Hockney alcançou destaque em exposições de artistas jovens, ao lado de Peter Blake, que também se tornaria famoso. Os primeiros trabalhos de Hockney lembram pinturas expressionistas, embora em alguns momentos ele já pudesse ser visto como artista pop. 

Mulher na pele - 1972

Em 1963 Hockney visitou Nova York, fazendo contato com Andy Warhol. A visita posterior à Califórnia, onde viveu por muitos anos, inspirou Hockney a fazer uma série de pinturas de piscinas em Los Angeles usando o relativamente novo acrílico médio. O resultado é surpreendente, cores vibrantes ​​em um estilo altamente realista. 

Sr. e Sra. Clarck e Percy - 1970

David Hockney também trabalhou com fotografia, ou mais precisamente foto colagem. Utilizando diversos instantâneos de Polaroid ou cópias de uma foto de laboratório, Hockney montou verdadeiras colchas de retalhos para compor uma imagem. Uma das primeiras fotomontagens era de sua mãe.

 Minha Mãe, 1982 / colagem fotográfica

Como essas fotografias são tiradas a partir de perspectivas diferentes e em tempos ligeiramente diferentes, o resultado é um trabalho que tem afinidade com o cubismo. Hockney criou fotomontagens entre 1970 e 1986. 

Manhã de domingo, Mayflower Hotel, New York, 1982 / fotomontagem

Em 1974, Hockney foi tema de filme de Jack Hazan, A Bigger Splash (em homenagem a um dos quadros de piscina).

Saiba mais aqui e aqui

Especial de Sábado

Ganhadores do Premio Nobel de Física

Borges e Nicolau

x

1950
Cecil Frank Powell, pelo desenvolvimento do método fotográfico para estudo de processos nucleares e por descobertas relacionadas com os mésons.

Cecil Frank Powell (1903-1969), físico britânico

Cecil Frank Powell foi distinguido, em 1950, com o premio Nobel de Física pelo desenvolvimento do método fotográfico que usa chapas fotográficas especiais e que permite registrar traços deixados por partículas subatômicas.

Por meio desta técnica Cecil Frank Powell, César Lattes e Giuseppe Occhialini constataram, em 1947, a existência do méson que havia sido prevista, em 1935, por Hideki Yukawa. 

Saiba mais. Clique aqui, aqui e aqui

Próximo Sábado: Ganhador do Premio Nobel de 1951:
John Douglas Cockcroft e Ernest Thomas Sinton Walton por trabalhos sobre transmutação de núcleos atômicos por meio de aceleradores de partículas.

Caiu no vestibular

Roda gigante

(FUVEST)
Nina e José estão sentados em cadeiras, diametralmente opostas, de uma roda gigante que gira com velocidade angular constante. Num certo momento, Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo; após 15 s, antes de a roda completar uma volta, suas posições estão invertidas.
A roda gigante tem raio R = 20 m e as massas de Nina e José são, respectivamente, MN = 60 kg e MJ = 70 kg.
Calcule
a) o módulo v da velocidade linear das cadeiras da roda gigante;
b) o módulo aR da aceleração radial de Nina e de José;
c) os módulos NN e NJ das forças normais que as cadeiras exercem, respectivamente, sobre Nina e sobre José no instante em que Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo.

NOTE E ADOTE
π = 3
Aceleração da gravidade g = 10 m/s²

Resolução:

a) O intervalo de tempo de uma volta completa (período) é T = 30 s

v = 2.π.R/T => v = 2.3.20/30 => v = 4,0 m/s

b) O movimento circular e uniforme. Logo, a aceleração radial ou aceleração centrípeta é dada por:

aR = v²/R => aR = (4,0)²/20 => aR = 0,80 m/s²

c)

Nina:
PN – NN = mN.aR
600 – NN = 60.0,80 => NN = 552 N

José:
NJ – PJ = mJ.aR
NJ – 700 = 70.0,80 => NJ = 756 N

Respostas:
a) v = 4.0 m/s
b) aR = 0,80 m/s²
c) NN = 552 N e NJ = 756 N

Cursos do Blog - Eletricidade

Superfície equipotencial

Borges e Nicolau

Toda superfície cujos pontos apresentam o mesmo potencial elétrico.
As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais.

Exemplos:

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Campo elétrico gerado por duas cargas elétricas puntiformes. As linhas de cor cinza são as linhas de força e as azuis, tracejadas, as equipotenciais.

Características do campo uniforme

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x

• As superfícies equipotenciais são planos paralelos entre si e perpendiculares às linhas de força.
• O trabalho no deslocamento de uma carga q entre os pontos A e B é dado por:

x

Relação:

Exercícios básicos

Exercício 1:
As linhas cheias representam algumas linhas de força de um campo eletrostático e, as tracejadas, as linhas equipotenciais.
Uma partícula eletrizada com carga elétrica q = 2.10^-6 C é transportada de A até B e de B até C.
Qual é o trabalho que a força eletrostática realiza nestes dois deslocamentos?

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Resolução:

τAB = q.(VA - VB) => Sendo VA = VB, vem: τAB = 0
τBC = q.(VB - VC) = 2.10^-6.(15-10) => τBC = 10^-5 J

Respostas: zero; 10^-5 J  

Exercício 2:
A figura representa as linhas equipotenciais no campo gerado por duas cargas elétricas puntiformes de mesmo valor absoluto e sinais opostos. Qual é a ddp entre os pontos A e B e entre B e C?

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Resolução:

VA = +5 V; VB = -5 V e VC = k.+Q/d + k.-Q/d = 0
VA - VB = 5 V - (-5 V) = 10 V
VB - VC = -5 V - 0 = -5 V

Respostas: 10 V e -5 V

Exercício 3:
Na figura estão representadas algumas linhas equipotenciais de um campo eletrostático. Represente o vetor campo elétrico resultante nos pontos A e B.

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Resolução:

Exercício 4:
Considere os pontos A, B e C de um campo elétrico uniforme de intensidade E = 10³ N/C.

Calcule a ddp entre os pontos:
a) A e B
b) A e C
c) B e C

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Resolução:

a) UAB = VA - VB = 0, pois VA = VB
b) UAC = E.dAC = 10³.20.10^-2 => UAC = 200 V
c) UBC = UAC = 200³V, pois VA = VB 

Respostas:
a) zero
b) 200 V
c) 200 V

Exercício 5:
Considere os pontos A e B de um campo elétrico uniforme de intensidade
E = 10⁴ N/C.

Calcule a ddp entre os pontos A e B.
Dados: distância entre A e B = 20 cm; cos 60º = 0,5

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Resolução:

UAB = E.d = E.AB.cos 60º = 10⁴.20.10^-2.0,5 => UAB = 10³ V

Resposta: 10³ V

Cursos do Blog - Termologia, Óptica e Ondas

Propagação do calor

Borges e Nicolau

Fluxo de calor

A propagação do calor pode ocorrer por três processos diferentes: condução, convecção e irradiação. Para os três modos de propagação definimos a grandeza denominada fluxo de calor:

Em que Q é a quantidade de calor transmitida e Δt o intervalo de tempo correspondente.

Unidades de fluxo de calor: cal/s, cal/min, W

Condução térmica

Transmissão em que a energia térmica se propaga por meio da agitação molecular.

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Lei de Fourier:

Em que K é o coeficiente de condutibilidade térmica do material.

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Os bons condutores, como os metais, têm valor elevado para a constante K; já os isolantes térmicos (madeira, isopor, lã, etc.) têm valor baixo para a constante K.

Convecção térmica

Transmissão de energia térmica, que ocorre nos fluidos, devido à movimentação do próprio material aquecido, cuja densidade varia com a temperatura.

Correntes de convecção

Ascendente, formada por fluido quente.

Descendente, formada por fluido frio.

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Irradiação

Transmissão de energia por meio de ondas eletromagnéticas (ondas de rádio, luz visível, ultravioleta etc.). Quando estas ondas são raios infravermelhos, falamos em irradiação térmica.

Quando a energia radiante (energia que se propaga por meio de ondas eletromagnética) atinge a superfície de um corpo ela é parcialmente absorvida, parcialmente refletida e parcialmente transmitida através do corpo. A parcela absorvida aumenta a energia de agitação das moléculas constituintes do corpo (energia térmica). As radiações infravermelhas são as mais facilmente absorvidas, isto é, são as que mais facilmente se transformam em energia térmica.

Efeito estufa

Substâncias presentes na atmosfera terrestre (CO2, vapor de água, metano, etc.) limitam a transferência de calor da Terra para o espaço, durante a noite, mantendo assim um ambiente adequado para a vida. A intensificação desse efeito, devido à ação humana, está provocando o aquecimento global, com graves consequências para o planeta.

Garrafa térmica

Dispositivo no qual são minimizados os três processos de transmissão de calor. O vácuo entre as paredes duplas evita a condução. A boa vedação da garrafa evita a convecção. O espelhamento interno e externo das paredes reduz ao mínimo a irradiação.

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Exercício básicos

Exercício 1:

Dos três processos de propagação de calor, qual deles ocorre no vácuo?

Resolução:

Irradiação, pois a transmissão de energia ocorre por meio de ondas eletromagnéticas.

Resposta: Irradiação

Exercício 2:

Considere as afirmações:

I) A propagação de calor por convecção ocorre nos fluidos em geral.

II) A propagação de calor por condução não ocorre no vácuo.

III) Uma malha de lã tem como função fornecer calor ao corpo de uma pessoa.

IV) O ar atmosférico e o gelo são bons condutores de calor.

Tem-se:

a) Só as afirmações I) e II) são corretas;

b) Só as afirmações III) e IV) são corretas;

c) Só as afirmações I) e III) são corretas;

d) Só as afirmações I), II) e III) são corretas;

e) Todas as afirmações são corretas.

Resolução:

I) Correta. A propagação de calor por convecção ocorre nos líquidos e gases, isto é, nos fluidos.
II) Correta. A condução exige um meio material para se propagar.
III) Incorreta. A malha é um isolante térmico. Ela reduz a perda de calor do corpo para o meio ambiente.
IV) Incorreta. Eles são isolantes térmicos

Resposta: a

Exercício 3:

Por que, embora estejam à mesma temperatura, ao tocarmos numa maçaneta metálica e numa porta de madeira, temos a sensação de que a maçaneta está mais fria?

Resolução:

O coeficiente de condutibilidade térmica do metal é maior do que o da madeira. Nestas condições, a maçaneta de metal retira mais rapidamente calor da mão, dando a impressão de estar mais fria.

Exercício 4:

Nas geladeiras domésticas:

I) o congelador está colocado na parte superior;

II) o ar frio desce, por convecção, resfriando os alimentos;

III) as prateleiras não são inteiriças mas têm a forma de grade, de modo a permitir a convecção do ar no interior da geladeira;

IV) deve-se, nos modelos mais antigos, retirar periodicamente o gelo que se forma sobre o congelador para não prejudicar a troca de calor.

Tem-se:

a) Só as afirmações I) e II) são corretas;

b) Só as afirmações III) e IV) são corretas;

c) Só as afirmações I) e III) são corretas;

d) Só as afirmações I), II) e III) são corretas;

e) Todas as afirmações são corretas.

Resolução:

I) Correta. O ar da parte superior em contato com o congelador fica mais frio e desce, dando lugar ao ar quente que sobe.
II) Correta. Pelo processo descrito no item I) os alimentos são resfriados por convecção
III) Correta. A finalidade é permitir a convecção do ar no interior da geladeira.
IV) Correta. O gelo é um isolante térmico

Resposta: e

Exercício 5:

Uma extremidade de uma barra de alumínio está em contato com vapor de água em ebulição sob pressão normal (100 ºC). A outra extremidade está em contato com gelo em fusão sob pressão normal (0 ºC).

A barra tem comprimento de 100 cm e a área da seção reta

é de 5,0 cm².

A barra está envolvida por um isolante de modo que é desprezível o calor perdido pela superfície lateral. Sendo K = 0,50 cal/s.cm.ºC o coeficiente de condutibilidade do alumínio, determine:

a) o fluxo de calor que atravessa a barra;

b) a quantidade de calor que atravessa uma seção da barra em 6,0 minutos;
c) a temperatura numa seção da barra situada a 8,0 cm da extremidade mais fria.

Resolução:

a) φ = K.A.Δθ/e => φ = 0,50.5,0.(100-0)/100 => φ = 2,5 cal/s
b) φ = Q/Δt => 2,5 = Q/360 => Q = 9,0.10² cal
c)

φ1 = φ2 => K.A.(100-θ)/92 = K.A.(θ-0)/8 => θ = 8,0 ºC

Respostas:

a) 2,5 cal/s
b) 9,0.10² cal 
c) 8,0 ºC