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Movimentos Circulares (I)

Borges e Nicolau

Movimento circular uniforme (MCU)

É um movimento que se realiza com velocidade escalar v constante e cuja trajetória é uma circunferência ou um arco de circunferência.
No MCU a velocidade²vetorial tem módulo constante, mas varia em direção²e sentido. A aceleração do movimento é centrípeta, sendo seu módulo a_CP = v²/R, onde R é o raio da circunferência. A direção de a_CP é em cada ponto²perpendicular à velocidade vetorial v e aponta para o centro C da²circunferência.

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Período e Frequência

O MCU é um movimento periódico. O intervalo de tempo decorrido em cada volta completa, de um móvel que realiza MCU, chama-se período e é indicado por T.

Unidades: segundo (s), minuto (min), hora (h), etc.

Exemplo: um móvel em MCU possui período T = 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa uma volta.

O número de voltas na unidade de tempo, recebe o nome de frequência que é indicada por f.

No exemplo dado, se o móvel completa uma volta em 0,2 s, significa que em 1 s (uma unidade de tempo) ele completará 5 voltas.

Portanto, sua frequência é f = 5 voltas por segundo ou 5 hertz (Hz).

Em 1 minuto o móvel completará f = 5 x 60 rotações por minuto, isto é sua frequência é f = 300 rotações por minuto (rpm).

Unidades: hertz (Hz) (ciclos/segundo), rpm (rotações/minuto), etc.

Relações:

sssss

Equações do MCU

Sejam:

s = espaço linear

s₀ = espaço linear inicial

φ = espaço angular

φ₀ = espaço angular inicial

Δs = variação do espaço linear no intervalo de tempo Δt

Δφ = variação do espaço angular no intervalo de tempo Δt

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Velocidade linear:

v = Δs/Δt

Velocidade angular:

ω = Δφ/Δt

Relações:

xxxxxxxxxxxxxxxxxΔs = Δφ.R

xxxxxxxxxxxxxxxxxv = ω.R

xxxxxxxxxxxxxxxxxω = 2π/T (Δφ = 2π rad e Δt = T)

xxxxxxxxxxxxxxxxxω = 2π.f

xxxxxxxxxxxxxxxxxa_CP = v²/R = ω².R

Funções horárias:

Linear:

xxxxxxxxxxxxxxxxxs = s₀ + v.t

Angular:

xxxxxxxxxxxxxxxxxφ = φ₀ + ω.t

Exercícios básicos

Exercício 1:

A cadeira de uma roda gigante que realiza um MCU, completa um terço de volta em 20 s. Considere π = 3. Determine:

a) o período de rotação da cadeira;
b) a frequência em Hz e em rpm;
c) a velocidade angular da cadeira.

Resolução: 

a) um terço de volta => 20s; uma volta => T
Portanto: T = 60 s

b) f = 1/T => f = 1/60 Hz = (1/60) x 60 rpm = 1 rpm

c) ω = 2.π/T => ω = 2.3/60 => ω = 0,1 rad/s

Respostas:
a) 60 s
b) 1/60 Hz; 1 rpm
c) 0,1 rad/s

Exercício 2:

Uma partícula descreve um MCU de raio 2 m e com frequência 2 Hz. Adote π = 3. Determine:

a) o período do movimento;
b) a velocidade angular;
c) a velocidade linear;
d) a aceleração escalar
e) o módulo da aceleração centrípeta.

Resolução: 

a) T = 1/f => T = 1/2 Hz = 0,5 Hz

b) ω = 2.π/T => ω = 2.3/0,5 => ω = 12 rad/s

c) v = ω.R => v = 12.2 => v = 24 m/s

d) Sendo o movimento uniforme a aceleração escalar é nula.

e) acp = v²/R => acp = (24)²/2  => acp = 288 m/s²

Respostas:
a) 0,5 s
b) 12 rad/s
c) 24 m/s
d) zero
e) 288 m/s² 

Exercício 3:

Uma pessoa, na cidade de Macapá (Amapá), está em repouso sobre a linha do equador. Qual é a velocidade linear desta pessoa devido ao movimento de rotação da Terra? Considere o raio da Terra igual a 6,4.10³ km e π = 3.

Resolução:

v = ω.R = (2.π/T).R => v = (2.3/24).6,4.10³ km/h => v = 1600 km/h

Resposta: 1600 km/h

Exercício 4:

Um ciclista descreve um movimento circular uniforme de raio R = 100 m, com velocidade linear igual a 36 km/h. Determine, para o intervalo de tempo igual a 10 s,o ângulo e o arco descritos pelo ciclista.

Resolução: 

v = ω.R => v = (Δφ/Δt).R => 10 = (Δφ/10).100 => Δφ = 1 rad
Δs = Δφ.R => Δs = 1.100 => Δs = 100 m

Respostas: 1 rad; 100 m

Exercício 5:

Duas partículas, A e B, realizam MCU de mesmo raio e com períodos

T_A = 1 s e T_B = 3 s, respectivamente. As partículas partem de um mesmo ponto C da trajetória circular e no mesmo sentido.

a) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até se encontrarem pela primeira vez no ponto C?
b) Qual o intervalo de tempo decorrido desde a partida até o instante em que uma partícula se encontra uma volta na frente da outra?
c) Refaça o item b) e considere que as partículas partiram do ponto C em sentidos opostos.

Resolução:

a)
A partícula A volta ao ponto de partida C após 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, etc. Já a partícula B volta ao ponto C após 3 s, 6 s, 9s, 12 s, etc. Então, vão se encontrar novamente no ponto C, pela primeira vez, no instante t = 3 s.

b)
2.π.R = vA.t - vB.t => 2.π.R = t.(vA - vB)=> 2.π.R = t.[(2.π.R)/TA - (2.π.R/TB)]
1 = t.(1/TA - 1/TB) => 1 = t.(1/1 - 1/3) => t = 1,5 s

c)2.π.R = vA.t + vB.t =>2.π.R= t.(vA + vB)=> 2.π.R = t.[(2.π.R)/TA + (2.π.R/TB)]
1 = t.(1/TA+1/TB) => 1 = t.(1/1+1/3) => t = 0,75 s

Respostas:
a) t = 3 s; b) t = 1,5 s; c) 0,75 s