Mas, ...onde aparece o número “e”?
Por que o número e é considerado o “Número da Natureza”? Por que os logaritmos de base e são chamados de “Logaritmos Naturais”? Para responder a essas perguntas vamos conhecer algumas situações práticas onde encontramos o e.1. Queda sob influência do ar (queda não livre)
No ensino médio estudamos a queda dos corpos nas proximidades da superfície da Terra desconsiderando a influência do ar sobre esses movimentos. Se a queda é livre, a velocidade escalar v do corpo, t segundos após o início da sua queda, será v = v0 + gt, sendo v0 a velocidade inicial do corpo e g a aceleração da gravidade local.
Para pequenas altitudes (até uns 100 metros) e corpos relativamente densos (bolinhas de aço ou de chumbo) essa expressão ainda pode ser aplicada, com algum erro como veremos logo mais.
Quando a queda se dá no ar, o corpo fica sujeito à ação de duas forças: seu peso, P = mg, e a força de resistência do ar, Far = – k∙v. O sinal negativo indica que essa força tem sentido oposto ao movimento e k, denominado coeficiente de resistência, é uma constante que depende da forma do objeto que cai e do meio que o envolve. Assim, pelo princípio fundamental da dinâmica ou segunda lei de Newton, a aceleração de queda do corpo, no ar, pode ser calculada por:
mg – k∙v = ma ⇒ a = g – (k/m)·v.
À medida que a velocidade v aumenta, a aceleração diminui, isto é, vai tendendo a zero. Quando a for igual a zero, teremos g = (k/m)·v ou
v = mg/k que é denominada velocidade limite ou velocidade terminal da queda.
Bom mas, ... cadê o número e?
Com uma certa dose de matemática um pouco avançada, cálculo integral, pode–se mostrar que a velocidade do corpo varia em função do tempo de acordo com a expressão:
v = mg/k + (v0 - mg/k).e-kt/m (1)
À medida que o tempo t vai aumentando, o termo e-kt/m vai diminuindo, isto é, vai tendendo a zero e a velocidade do corpo tende ao valor vlimite = mg/k, independentemente do valor da sua velocidade inicial v0.
Se a velocidade inicial v0 do corpo for nula, a expressão será:
v = mg/k - mg/k . e-kt/m ou v = mg/k . (1 - e-kt/m). (2)
Olha o número e aí gente!
Vamos ver isso em dois exemplos numéricos.
(1) Para uma bolinha de aço de 1,0 cm de raio temos m/k ≃ 100 s e
vlimite ≃ 1000 m/s, isto é, 1,0 km/s (!), usando g = 10 m/s2. Após
10 segundos de queda a partir do repouso, a velocidade dessa bola será
v ≃ 95 m/s. Pouco menor que o valor 100 m/s que seria encontrado usando equação da velocidade para uma queda livre. Após 500 segundos de queda teremos v = 993 m/s, isto é, quase o valor limite 1000 m/s, mas bem menor que os 5000 m/s que seriam atingidos se a queda fosse realmente livre!
(2) Para um “skydiver”, juntamente com o seu equipamento, temos
m/k = 0,60 s e vlimite ≃ 6,0 m/s, após a abertura do pára-quedas. Suponha que a pessoa abra o pára-quedas no instante em que sua velocidade seja v0 = 50 m/s, “normal” para esse esporte. Pela expressão (1), apenas 5,0 segundos após a abertura do pára-quedas teremos
v = 6,02 m/s, isto é, praticamente já foi atingida a velocidade limite da queda. Em queda livre a velocidade seria de 100 m/s!
O gráfico que representa a velocidade de uma queda não livre, em função do tempo, é mostrado a seguir:
2. Lei da desintegração radioativa
Os núcleos de elementos radioativos, isto é, núcleos instáveis, desintegram-se de acordo com a lei:
na qual N0 representa o número inicial de núcleos da amostra, isto é, o número de núcleos em t0 = 0, N representa o número de núcleos remanescentes na amostra no instante t e λ é uma propriedade do elemento denominada constante de desintegração radioativa. O gráfico que representa a lei do decaimento radioativo é mostrado abaixo:
3. Escala de sensações fisiológicas humanas (lei de Weber-Fechner)
Em 1825 o fisiologista alemão Ernst H. Weber (1795-1878) formulou uma lei matemática para “medir” a resposta humana R a vários estímulos sensoriais S. Ele constatou que as respostas obedeciam a uma função logarítmica de base e:
S0 é o estímulo mínimo que uma pessoa pode perceber, para o qual adotamos R = 0, e k é uma constante característica de cada pessoa.
Embora a lei de Weber seja aplicável a uma ampla variedade de estímulos fisiológicos, a audição parece ser o sentido que melhor se adapta à lei logarítmica. Nosso ouvido é capaz de perceber variações de até 0,3% na frequência de um som! O físico alemão Gustav T. Fechner (1801-1887) foi quem difundiu a lei de Weber na comunidade científica da época, daí o nome Lei de Weber-Fechner.
A escala que mede as intensidades dos terremotos, escala Richter, também é logarítmica, semelhante à lei de Weber.
Esse número e é mesmo o “bicho”, não é?!
Abraço,
Torres.
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