Caro blogueiro estudioso e curioso, convido-o a “viajar” um pouco pela mente de Sir Isaac Newton. Ele, que é considerado o cientista mais influente da história da humanidade! Aquele que “viu mais longe” por que subiu “sobre ombros de gigantes”. Vamos “decolar?” Então aperte o cinto e “enjoy the trip”.
CÁLCULO DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA SEGUNDO ISAAC NEWTON
x
Em muitos livros didáticos de Física há a demonstração vetorial da fórmula do cálculo da aceleração centrípeta. Esta que vamos ver é uma demonstração escalar que quase não se encontra em livros, e é do “pai da matéria”, Isaac Newton.
Nesta demonstração vamos usar a aproximação (1 + x)n ≃ 1 + n·x, para x << 1 (o símbolo “<<” lê-se muito menor).
No final desta leitura, apresentamosnuma justificativa simples para essa aproximação.
Consideremos o movimento orbital da Lua, em torno da Terra, circular uniforme de raio r. Seja v a velocidade linear da Lua na sua órbita. Em um intervalo de tempo t a Lua percorre o arco L1L2. Se não houvesse a atração terrestre, no intervalo de tempo t a Lua teria percorrido o segmento de reta L1L’2 = vt, tangente à circunferência em L1. Porém, devido à atração gravitacional da Terra, no mesmo intervalo de tempo t, a Lua “cai” em direção ao centro da Terra uma distância representada pelo segmento L’2L2, de medida s.
Se considerarmos t muito pequeno, podemos dizer que o segmento s é percorrido com aceleração constante a, de modo que
(1)
O triângulo formado por L1, L’2 e a Terra é retângulo em L1, portanto, do teorema de Pitágoras temos:
Como o segmento L1L’2 = vt é muito menor que o raio r da órbita lunar, podemos fazer a aproximação:
(2)
Comparando-se as expressões (1) e (2) temos:
E aí, gostou da dedução? Bonitinha, não?
Bom, agora só falta justificar a aproximação usada por Newton.
Justificativa da aproximação (1 + x)n ≃ 1 + n·x (Binômio de Newton)
Nas primeiras séries do ensino fundamental II, aprendemos com certa dificuldade a expansão de binômios do tipo (a + b)n, para expoentes naturais (n ∈ IN) . Lembran...? Não?
Então vamos recordar um pouco disso:
(1) (a + b)1 = a + b, que é meio óbvio, não é?
(2) (a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + 2ab + b2; lembra disso?
(3) (a + b)3 = (a + b)2·(a + b) = (a2 + 2ab + b2)·(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; e esse? ufa ... !
Só mais um, prometo:
(4) (a + b)4 = (a + b)3·(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)·(a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;
... e por aí vai ...
Vamos agora fazer a = 1 e b = x. Veja como fica:
(1) (1 + x)1 = 1 + x;
(2) (1 + x)2 = (1 + x)·(1 + x) = 1 + 2x + x2;
(3) (1 + x)3 = (1 + x)2·(1 + x) = (1 + 2x + x2)· (1 + x) = 1 + 3x + 3x2 + x3;
(4) (1 + x)4 = (1 + x)3·(1 + x) = (1 + 3x + 3x2 + x3)·(1 + x) = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4
Você deve estar pensando: tá, ...e daí?
Bom, se o valor de x for muito menor que 1, por exemplo, 1/10, 1/100, 1/1.000, ... , o valor de x2 será “muito muito” menor que 1, veja:
(1/10)2 = 1/100; (1/100)2 = 1/10.000; (1/1.000)2 = 1/1.000.000, etc.
Dá para concluir, então, que os valores de x2, x3, x4, x5, ..., serão extremamente menores que 1, e desprezíveis quando comparados com x!
Assim, para valores de x pequenos comparados a “1”, podemos aproximar:
• (1 + x)2 para 1 + 2x, desprezando x2;
• (1 + x)3 para 1 + 3x, desprezando x2 e x3;
• (1 + x)4 para 1 + 4x, desprezando x2, x3 e x4.
E por aí vai... “Pegou a lógica”?
Portanto, genericamente podemos escrever:
(1 + x)n ≃ 1 + n·x,
quando x é muito menor que 1!
E, para finalizar, uma “boa notícia”, que não será demonstrada:
A aproximação (1 + x)n ≃ 1 + n·x vale para qualquer expoente REAL !!!
Isto é:
• (1 + x)1/2 ≃ 1 + 1/2·x
• (1 + x)√2 ≃ 1 + √2.x
• (1 + x)-1 ≃ 1 + (–1)·x = 1 – x
• (1 + x)-1/3 ≃ 1 + (– 1/3)·x = 1 – 1/3·x
• (1 + x)–π ≃ 1 + (– π)·x = 1 – π·x .
É isso, amigo blogueiro! Gostou?
Abraço,
Prof. Carlos Torres.
Na próxima sexta-feira:
A "Lei do inverso do quadrado da distância" ou "Lei da atração das massas".
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