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O Fantástico e Onipresente Número PI (π) 

Professor Carlos Magno Torres 
Pelo fato de o número pi ser representado por uma letra do alfabeto grego, poderíamos pensar que os antigos gregos tenham sido os primeiros a utilizá-lo. Bem, não é o que a história diz. Não se pode precisar a origem do pi com tanta certeza como a que temos quanto à do primeiro aparecimento do pi representado pela letra “π”. Foi em 1706, no livro do matemático inglês William Jones (1675-1749). Curiosamente, em 1647, o também matemático inglês William Oughtred (1574-1660) usou a letra “π” para representar o perímetro da circunferência, talvez por se tratar da primeira letra da palavra grega “periferia” (περωερια), que significa perímetro, contorno ou borda.
A razão constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência já era conhecida, desde cerca de 1900 a.C, no antigo Egito, que usava o pi com o valor 25/8 (3,1250). Na Babilônia usava-se o pi com o valor 256/81 (3,1605) e na Índia adotava-se a fração 339/108 (3,1389) para o valor de pi .
O genial Arquimedes adotava a fração 22/7 para representar o pi: 22/7 = 3,142857...
Um desvio de apenas 0,04%! Absolutamente genial, não?!
Quando Leonhard Euler (1707-1783), outro gênio da matemática, começou a utilizar a letra “π” para representar essa “mágica” constante em seus trabalhos mundialmente reconhecidos, essa notação se firmou definitivamente.
De acordo com o matemático russo G. Gléizer, em um texto bíblico hebraico que data de alguma época entre os séculos X e V a.C., encontramos o pi com uma notável exatidão de cinco algarismos: 3,1415094!
Uma excelente aproximação para pi, até o sexto dígito decimal, é a fração que fornece o valor 3, 14159292... . Um desvio percentual de apenas 8,0 milionésimos!
Para cálculos de média precisão podemos usar π ≃ 3,14 ou 3,1416. Em algumas aplicações de menor precisão ou apenas para facilitar cálculos manuais ou mentais adotamos π ≃ 3, cometendo um erro da ordem de 4,5%. Em outras situações encontramos π² ≃ 10, com um erro de apenas 1,32% (π² ≃ 9,8696...).
No início dos anos 1970 o físico Richard P. Feynman lançou a ousada hipótese cosmológica de que o ano terrestre teria “π · 10⁷ segundos” ou 10π milhões de segundos!
Um relógio de altíssima precisão mediu a duração do ano de 1975, apontado um resultado de 3,1492·10⁷ segundos. Uma diferença de apenas 0,24% em relação à hipótese de Feynman! Simplesmente notável!

Abaixo temos o pi com suas 50 primeiras “casas” decimais: 

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Se representarmos o pi com apenas 11 algarismos decimais, podemos calcular o comprimento de uma circunferência na qual se ajusta a circunferência equatorial da Terra, com menos de um milímetro de folga. Atualmente são conhecidos alguns trilhões de dígitos significativos do número pi.

Portanto, é natural e inevitável que se faça a pergunta: Mas,... qual é a utilidade ou a aplicação prática de se conhecer o pi com tanta precisão? Mesmo o mais obstinado engenheiro necessitaria de, no máximo, 7 ou 8 dígitos decimais nos seus cálculos. Um físico, obcecado por precisão, só precisaria de 15 ou 20 dígitos decimais, se tanto. Então, para quê tanto esforço?! Será que o número pi ainda esconde algum “grande segredo”???

Atualmente o cálculo de mais e mais casas decimais do número pi é usado para testar e comparar o desempenho de hardwares digitais específicos e de rotinas de softwares de segurança, por exemplo, em criptografia. 
A letra grega “π” equivale à nossa letra “p” minúscula.

Expressões que “levam” ao número π ou a valores próximos dele 

• O número π segundo Leonhard Euler:
π² = 6.(1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...)

• O número π segundo Gottfried Wilhelm Leibniz:
π = 4.(1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...) 

• O número π com a sua calculadora: 
355/113 ≃ 3,141592..., com um erro de apenas  8,0.10^-6 % !

π = 16.arctg(1/5) - 4.arctg(1/239); aqui 1/5 e 1/239 são arcos medidos em radianos.

Aproximações que envolvem o Pi

- razão entre as massas do próton e do elétron em função do π:
mp/me ≃ 4.π.(4π - 1/π).(4π - 2/π) = 1836,15..., com um desvio de apenas 0,05 %.

- aceleração da gravidade na superfície da Terra, em função do pi: 

g ≃ π² , com um erro de apenas 0,64 %.

- pi como raiz quadrada de dez:

Se π² ≃ 10  =>  π ≃ √10 ≃ 3,1623, com um erro de apenas 0,66 %.