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O Princípio da Incerteza de Heisenberg

Borges e Nicolau
Na Física Clássica, conhecidas a posição e a velocidade de uma partícula num certo instante e o sistema de forças que agem sobre ela, pode-se determinar a posição e a velocidade em instantes posteriores.

Na Física Quântica, que estuda a teoria física dos fenômenos microscópicos, ganha importância o conceito de probabilidade, pois há limites na precisão com que posição e velocidade possam ser medidos simultaneamente.

Um experimento mental pode exemplificar tal fato. Para medir a velocidade e a posição de um elétron um físico ilumina o campo da experiência. Quando isso acontece fótons do feixe luminoso chocam-se com o elétron, alterando sua velocidade. Dessa forma, posição e velocidade obtidas no experimento não correspondem à posição e à velocidade que o elétron teria sem a presença da luz. O ato de medir alterou o resultado. Quanto maior a tentativa de precisão, mais luz será necessária, ocasionando mais interferência e aumentando a imprecisão.

O físico alemão Werner Heisenberg (1901 – 1976) propôs, em 1927, a indeterminação associada à posição e à velocidade de uma partícula.

Quanto maior a precisão na determinação da posição de uma partícula, menor a precisão na determinação de sua velocidade ou de sua quantidade de movimento e vice-versa.

Heisenberg relacionou a incerteza Δx, na medida da posição x de uma partícula, com a incerteza ΔQ da quantidade de movimento Q, obtendo:

Na Física Quântica a posição de uma partícula num certo instante, não fica determinada, somente temos a probabilidade de encontrá-la numa certa região. É o indeterminismo. Muitos cientistas não aceitaram esses conceitos probabilísticos, inclusive Einstein que, dentro deste contexto, disse:

“Deus não joga dados com o Universo”.

Em função dessa afirmativa, Niels Bohr respondeu a Einstein:

“Albert, pare de dizer a Deus o que ele deve ou não fazer."

Stephan Hawking, muito tempo depois, arrematou:

"Deus não só joga dados, como os esconde..."

Exercícios básicos

Exercício 1
A incerteza na medida da velocidade de um elétron é
Δv = 5,0 . 10^-3 m/s. Sendo h = 6,63 . 10^-34 J.s a constante de Planck, determine a incerteza mínima Δx, na medida da posição x.

Dado: massa do elétron m = 9,1 . 10^-31 kg.

Exercício 2
A incerteza na medida da velocidade de uma bola de futebol é
ΔV = 5,0 . 10^-1 m/s. Sendo h = 6,63 . 10^-34 J.s a constante de Planck, determine a incerteza mínima , na medida da posição x.

Dado: massa da bola m = 0,4 kg

Exercício 3
Compare os valores obtidos nos exercícios anteriores e realce a importância do Princípio da Incerteza na escala atômica.


Figuras notáveis da Física 

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Efeitos relativísticos

GPS e o tempo corrigido

Neil Ashby
Os relógios atômicos navegam nos satélites a uma altura média de 20 mil km e velocidade próxima de 4 km/s. De acordo com a relatividade restrita, um relógio movendo-se com essa velocidade marcará o tempo mais lentamente do que um outro estacionário – a frequência do relógio em movimento é menor, com uma diferença da ordem de uma parte em 10 bilhões. Parece muito pouco, mas está dentro da precisão dos relógios atômicos. Logo, é preciso corrigir os relógios para que todos marquem o tempo na mesma freqüência.

Por outro lado, na altura em que os satélites navegam, os efeitos dos campos gravitacionais fazem com que o relógio marque o tempo mais rapidamente. Nesse caso, a variação é de aproximadamente 5 partes em 10 bilhões em relação aos relógios que estão na Terra.

Esses são os efeitos mais evidentes das teorias da relatividade restrita e geral. A correção acima – aproximadamente 5 partes em 10 bilhões – já é introduzida nos relógios antes da sua colocação no satélite. Chama-se isso de ajuste de fábrica.

Antes do lançamento do primeiro satélite, em 1977, muitos duvidavam da necessidade dessa correção. Examinaram a freqüência do primeiro relógio atômico posto em órbita depois de aproximadamente 20 dias em operação. Constataram um aumento da freqüência da ordem de 4,42 partes em 10 bilhões. A teoria da relatividade previa 4,46! Depois disso, ninguém mais discutiu a necessidade do ajuste de fábrica.

Os teóricos continuam refinando seus cálculos e prevendo correções que serão necessárias à medida que aumentar a precisão tecnológica. O campo gravitacional do planeta, por exemplo, depende da distribuição da massa terrestre e, por isso, correções serão necessárias devido à forma oval da Terra.

Além disso, também devem ser levadas em conta pequenas variações na órbita dos satélites, assim como o grau de achatamento da elipse que define a órbita. Tecnicamente, isso é conhecido como excentricidade orbital. Se o efeito da excentricidade não for considerado, isso pode resultar em um erro superior a 8 metros por dia.

Neil Ashby é consultor do Instituto Nacional de Padronização e Tecnologia (Nist, na sigla em inglês). Em maio de 2002 escreveu um artigo publicado na revista Physics Today, intitulado “Relativity and the Global Positioning System”. O texto acima foi retirado desse artigo.

Preparando-se para as provas

(MUV)(II)
Movimento uniformemente variado

Borges e Nicolau

Lembrete:

Funções horárias

S = S0 + v0t + (1/2)αt²
v = v0 + αt
α = αm = Δv/Δt = constante e diferente de 0

v0 = velocidade inicial, velocidade do móvel no início da contagem dos tempos. (t=0)
α = aceleração escalar

Movimento acelerado: v e α têm o mesmo sinal.
v>0; α>0
v<0; α<0
O módulo da velocidade cresce com o tempo

Movimento retardado: v e α têm sinais contrários.

v>0; α<0
v<0; α>0
O módulo da velocidade decresce com o tempo

Equação de Torricelli

v² = v0² + 2αΔS

Propriedade do MUV

vm =  ΔS/Δt = (v1 + v2)/2

Gráficos:

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Exercícios de aplicação:

Exercício 1

Um móvel realiza um MRUV, passando por um ponto A com velocidade

vA = 10 m/s. Sua aceleração escalar é a = -1,5 m/s².

Qual é a velocidade escalar do móvel ao passar pelo ponto B situado a 12 m de A? Interprete o resultado obtido.

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Exercício 2

Partindo do repouso de um ponto A, um carrinho realiza um MRUV, passando pelos pontos B e C, conforme a figura baixo:

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Determine as distâncias d1 e d2.

Exercício 3
Uma moto parte do repouso no instante t = 0 e realiza um movimento uniformemente variado, com aceleração escalar a = 1 m/s².

Qual é a distância que a moto percorre ao longo da trajetória entre os instantes t1 = 10 s e t2 = 30 s?  

Exercício 4
Um trem, de 200m de comprimento, inicia a passagem por um túnel com velocidade 10 m/s. Ao terminar a passagem, a velocidade do trem, que realiza um MUV, é de 20m/s. O túnel possui comprimento de 400m.

Quanto tempo demora a travessia?

Exercício 5
Um automóvel A está parado num semáforo. Quando o sinal fica verde o automóvel parte, realizando um MRUV. Nesse instante passa por ele uma moto B em MRU.

Os gráficos dos movimentos estão representados abaixo.

No instante T o automóvel ultrapassa a moto e suas velocidades escalares são, respectivamente, vA e vB.

Determine a razão vA/vB.

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Arte do Blog

Viagens espaciais

Embora estejamos firmemente atados à superfície do planeta pela gravidade, nossa imaginação é livre para vagar pelo Universo. A literatura e o cinema são expressões do desejo humano de navegar por mares nunca d'antes navegados...

Borges e Nicolau
Muito antes das viagens espaciais Júlio Verne escreveu o romance "Da Terra à Lua", no qual narra uma viagem tripulada ao nosso satélite. O livro é de 1865 e descreve uma cápsula espacial muito parecida com a "Apollo" que levou os primeiros astronautas a pisar na Lula, em 1969.

O local de lançamento escolhido por Verne foi a Flórida. Ele sabia que nas proximidades do Equador é mais fácil e menos dispendioso colocar um projétil em órbita.

O uso de um canhão foi a forma encontrada pelo escritor. O lançamento não deve ter sido confortável, mas os personagens não reclamaram.
Artistas podem fazer uso de licença poética em suas criações. Tirando o canhão, a história é interessante e deve ser lida por quem gosta de ficção científica.

Mais recentemente, no século XX, em plena época dos satélites e das naves tripuladas circulando em órbita da Terra, uma série televisiva ousou avançar pelos confins do Universo e conquistou os corações e as mentes de milhares de seguidores.

Jornada nas Estrelas estreou na NBC em 8 de Setembro de 1966. Contava a história de uma tripulação da nave estelar USS Enterprise da Federação dos Planetas Unidos e as suas aventuras "onde nenhum homem jamais esteve".

Numa visão utópica do século XXIII, estes personagens encontravam-se numa missão de cinco anos para explorar novos mundos e procurar novas formas de vida e civilizações.

Para deslocar-se entre as estrelas a Enterprise precisava acelerar até atingir a metade da velocidade da luz, velocidade padrão das missões rotineiras da Federação, mas em situações emergenciais ultrapassava a própria luz usando o artifício da velocidade de dobra (warp).

Sendo um nave tripulada a Enterprise teria limites para acelerar da imobilidade até a velocidade de cruzeiro. Qualquer deslize esmagaria os frágeis humanos a bordo. Uma solução "esperta" foi desenvolvida pelos autores. Criaram "supressores de inércia", dispositivos que tornam possíveis acelerações e freadas de intensidades centenas de vezes superiores à da gravidade terrestre. Como funciona? Não sabemos, nunca foi explicado satisfatoriamente.

Outro problema da nave é o combustível, isto é o tamanho do tanque de combustível. O texto a seguir foi tirado do livro "A física de jornada nas Estrelas", de Lawrence M. Krauss.

"A energia dos motores da Enterprise provém da fusão nuclear, a mesma reação nuclear do Sol, que transforma hidrogênio em hélio. Nas reações de fusão cerca de 1% da massa disponível é convertida em energia. Com toda essa energia os átomos de hélio resultantes são lançados para trás a cerca de 1/8 da velocidade da luz. Utilizando essa velocidade de exaustão como propelente, é possível calcular a quantidade de combustível que a Enterprise precisa para acelerar a, digamos, à metade da velocidade da luz. O cálculo não é difícil, mas aqui daremos apenas a resposta, que pode ser surpreendente.

Cada vez que a Enterprise acelera à metade da velocidade da luz, ela precisa queimar uma quantidade de hidrogênio correspondente a 81 vezes a sua massa. Dado que uma nave estelar da Classe Galáxia, como a Enterprise D de Picard teria mais de 4 milhões de toneladas, isso significaria que mais de 300 milhões de toneladas de combustível seriam necessários para acelerar a nave até à metade da velocidde da luz. Se o sistema de propulsão matéria-antimatéria for usado no motor de impulso, as coisas melhoram um pouco. Nesse caso seria preciso apenas duas vezes a massa da Enterprise para se obter tal aceleração."

Imaginamos uma solução engenhosa para o problema, quem sabe os roteiristas do filme, que criaram os supressores de inércia, comprem a idéia. Durante a aceleração entrariam em ação os supressores de massa, capazes de tornar a nave de 4 milhões de toneladas tão "leve" quanto um átomo de hidrogênio. Como funciona? Não pergunte, se eles criaram os supressores de inércia sem dar detalhes, nós também não revelaremos nosso segredo.

Além do mais, o século XXIII ainda está longe, até lá, quem sabe, teremos a solução dos problemas teóricos e práticos que envolvem a física de Jornada nas Estrelas.

Vamos esperar...

Leituras do Blog

Tempo e Gravidade

Borges e Nicolau

Na figura acima temos um pêndulo simples que abandonado do ponto A oscila entre A e B. O fio de comprimento l que sustenta a massa pendular está preso ao ponto O e tem massa desprezível. Também vamos considerar desprezível a resistência do ar.

Denominamos de período de oscilação do pêndulo simples (T) o intervalo de tempo de uma oscilação completa. No pêndulo da figura seria o tempo gasto na ida de A a B mais o tempo gasto na volta de B a A, fechando um ciclo. O período do pêndulo simples, para oscilações de pequenas amplitudes, é dado pela expressão:

O período (T) depende do comprimento do fio (l) e da aceleração da gravidade (g). Mantendo-se o comprimento constante, o período varia de forma inversamente proporcional à raiz quadrada de g.

Conclusão: quanto maior a gravidade, menor o período. Quando subimos a gravidade diminui e o período aumenta, isto é, o tempo de oscilação aumenta.

Com base no texto responda as seguintes questões:

1) Um relógio de pêndulo, calibrado ao nível do mar, é levado ao pico de uma montanha. O relógio adiantará ou atrasará? Considere que a temperatura permaneça constante.

2) Um relógio de pêndulo é calibrado numa certa cidade num dia muito quente. No dia seguinte a temperatura diminui consideravelmente. Neste dia, o relógio adiantará ou atrasará?

Resolução do Desafio de Mestre

Hidrostática - 3 questões selecionadas

Borges e Nicolau

Questão 1
(Fuvest-SP) Um cubo metálico maciço de 5,0 cm de aresta possui massa igual a 1,0 . 10³ g.

a) Qual a densidade do cubo
b) Qual o seu peso, em newtons?
Adote g = 10 m/s²

Resolução:

a) d = m/v => d = m/a³ => d = 1,0 . 10³ g / (5,0)³ cm³
   d = 8,0 g/cm³

b) P = m . g => P = 1,0 kg . 10 m/s² => P = 10 N

Questão 2

(Uerj 2001) Um adestrador quer saber o peso de um elefante. Utilizando uma prensa hidráulica, consegue equilibrar o elefante sobre um pistão de 2000 cm² de área, exercendo uma força vertical F equivalente a 200N, de cima para baixo, sobre o outro pistão da prensa, cuja área é igual a 25 cm². Calcule o peso do elefante.

Resolução:

De acordo com o princípio de Pascal

Questão 3

(ITA - 1975) Uma barra prismática e homogênea de comprimento L, seção transversal s e densidade µ. Uma das extremidades é fixada a um ponto S, em torno do qual a barra pode girar livremente. Parte da barra é mergulhada em água (densidade µa), como indica a figura; o ponto S situa-se acima da superfície livre da água, a uma distância h da mesma. Calcular a distância x entre o ponto S e o ponto A em que o eixo longitudinal da barra atravessa a superfície livre da água, supondo que a barra se equilibre obliquamente.

Resolução:

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Peso da barra:

Empuxo:

No equilíbrio, escolhendo o polo S, temos:

Soma algébrica nula dos momentos das forças:

Cursos do Blog - Respostas

O caráter dual da luz

Borges e Nicolau

Exercícios básicos

Exercício 1

Analise as proposições:

I) Em determinados fenômenos a luz apresenta natureza ondulatória e, em outros, corpuscular. É o caráter dual da luz.

II) Os fenômenos da interferência da luz, da difração e o efeito fotoelétrico são explicados pela natureza ondulatória da luz.

III) Partículas, como os elétrons, também possuem propriedades ondulatórias.

Tem-se:

a) só I) é correta;

b) só II) é correta;

c) só III) é correta;

d) só I) e III) são corretas;

e) I), II) e III) são corretas.

Resposta: D

Exercício 2

Um elétron se desloca com velocidade 3,0.10⁶ m/s. Determine o comprimento de onda de De Broglie associado ao elétron.

Dados: massa do elétron m = 9,11.10^-31 kg
constante de Planck h = 6,63.10^-34 J.s.

Resposta:

Exercício 3
Uma bola de futebol se desloca com velocidade 10m/s. Calcule o comprimento de onda de De Broglie associado à bola.

Dados: massa da bola de futebol m = 400 g
constante de Planck h = 6,63.10^-34 J.s.

Resposta:

Exercício 4
Retome os dois últimos exercícios anteriores. Por meio dos valores dos comprimentos de onda associados ao elétron e à bola de futebol, explique por que não se pode observar efeitos ondulatórios, como a difração, para objetos em escala macroscópica.

Resposta:
O comprimento de onda associado à bola de futebol é extremamente pequeno quando comparado com suas dimensões. Por isso, não podemos observar efeitos ondulatórios como,por exemplo, a difração. Lembre-se que a difração só será nítida se as dimensões da abertura ou do obstáculo forem da ordem de grandeza do comprimento de onda da onda incidente. O comprimento de onda associado ao elétron é da ordem do comprimento de onda dos raios X, realçando que sempre existe, associada às partículas ao nível atômico, as propriedades das ondas.