Vetores (II)
Borges e Nicolau
Lembrete:
A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia).
A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento).
Vetor
É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido.
Produto de um número real por um vetor
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Componentes de um vetor
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Animações:
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Exercícios básicos
Notação vetorial em negrito.
Exercício 1:
É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v
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Resolução:
2v tem a mesma direção e o mesmo sentido de v e módulo duas vezes maior
-v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de v
-v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de v
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Exercício 2:
No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j.
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Resolução:
a = 3j
b = 2i
c = 3i + 3j
b = 2i
c = 3i + 3j
Exercício 3:
No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E.
Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos:
a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC
Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos:
a) A carga elétrica de A é q = +2 μC
b) A carga elétrica de B é q = -3 μC
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Resolução:
1) FA = IqI.E = 2.10-6.105 => FA = 0,2 N => 2 quadradinhos
FA tem a mesma direção e o mesmo sentido de E
2) FB = IqI.E = 3.10-6.105 => FB = 0,3 N => 3 quadradinhos
FB tem a mesma direção e sentido oposto ao de E
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Exercício 4:
Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente da força F na direção perpendicular ao solo?
Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8.
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Resolução:
A componente de F perpendicular ao solo (FY) é igual a F.sen θ, ou 100.0,6
=> FY = 60 N
Exercício 5:
Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b).Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87
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Resolução:
ax = a.cos 60º => ax = 10.0,50 => ax = 5,0 u;
aY = a.sen 60º => aY = 10.0,87 => aY = 8,7 u;
bx = b.cos 30º => bx = 10.0,87 => bx = 8,7 u;
bY = b.sen 30º => bY = 10.0,50 => bY = 5,0 u;
sx = ax+bx = 13,7 u; sY = aY+bY = 13,7 u
ax = a.cos 60º => ax = 10.0,50 => ax = 5,0 u;
aY = a.sen 60º => aY = 10.0,87 => aY = 8,7 u;
bx = b.cos 30º => bx = 10.0,87 => bx = 8,7 u;
bY = b.sen 30º => bY = 10.0,50 => bY = 5,0 u;
sx = ax+bx = 13,7 u; sY = aY+bY = 13,7 u
Exercício 6:
Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 N.
a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x
a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy.
b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3.
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8
x
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Resolução:
Exercícios de revisão
a)
F1x = -10 N; F1y = 0
F1x = -10 N; F1y = 0
F2x = 0; F2y = -10 N
F3x = F3.cos θ = 10.0,8 => F3x = 8 N
F3y = F3.sen θ = 10.0,6 => F3y = 6 N
b)
F1x + F2x + F3x + F4x = 0 => (-10) + 0 + 8 + F4x = 0 => F4x = 2 N
F1y + F2y + F3y + F4y = 0 => 0 + (-10) + 6 + F4y = 0 => F4y = 4 NRevisão/Ex 1:
(UFU-MG)
A grandeza escalar é:
a) Impulso
b) Campo elétrico
c) aceleração da gravidade
d) trabalho
Resolução:
Das grandezas apresentadas, a grandeza física trabalho é escalar. As três outras são vetoriais.
Resposta: d
Revisão/Ex 2:
(FSM-SP)
Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então:
a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0.
b) o vetor w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0.
c) a direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k.
d) se a direção de w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0.
Resolução:
o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. e sentido contrário de v, se k < 0.
A direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k. A alternativa errada é a d.
Resposta: d
Revisão/Ex 3:
(ACAFE-SC)
O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo.
Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, são:
A) -20√3 e 20
B) 20 e 20√3
C) -20 e 20√3
D) 20√3 e -20
E) -20√3 e -20
Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2
Resolução:
Ax = -A.cos 60° = -40.(1/2) = -20
Ay = A.sen 60°= 40.(√3/2) = 20.√3
Resposta: c
Revisão/Ex 4:
(UNIFESP-SP)
Na figura são dados os vetores a, b e c.
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido horário.
e) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti-horário.
Resolução:
Da figura observamos que a subtração entre os vetores a e b é o vetor nulo. Assim, d = a – b + c = c. O vetor c tem módulo 2u, direção vertical e sentido para baixo.
Resposta: b
Revisão/Ex 5:
(UFLA-MG)
Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula.
Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a √6, podemos afirmar que os módulos de a e c valem, respectivamente:
a) 3 e (3√2 + √6)/2
b) √6/2 e 2√3
c) 3√2 e 3
d) 6 e 3
e) 3 e 3√2
Dados:
sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2
sen 45° = cos 45° = √2/2
Resolução:
Vamos inicialmente decompor os vetores a e b:
Sendo a resultante nula, podemos escrever:
b.sen 60° = a.sen 45° => √6.(√3/2) = a.(√2/2) => a = 3
c = b.cos 60° + a.cos 45° => c = √6.(1/2) + 3.(√2/2) => c = (√6 + 3√2)/2
Resposta: a
