Cursos do Blog - Mec (II)

2ª aula
Velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea

Borges e Nicolau

Introdução

Para o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem basta dividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo de tempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de São Paulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, após percorrer 320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da estrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.

Vamos agora ampliar₁esta definição, considerando a trajetória descrita por um móvel, em relação a um certo referencial. Seja s₁ o espaço do móvel num instante t₁ e s₂ seu espaço num instante posterior t2. Seja Δs = s₂ - s₁ a variação de espaço no intervalo de tempo Δt = t₂ - t₁.

A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo Δt para uma variação de espaço Δs qualquer. Para o cálculo de Δs devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendo inversão no sentido do movimento.

Velocidade escalar média:

v_m = Δs/Δt

Sendo Δs > 0, isto é, s₂ > s₁ , resulta v_m > 0. Se não houver inversão no sentido do movimento a variação₂de espaço Δs coincide com a distância efetivamente percorrida pelo móvel ao longo da trajetória (figura 1).

Figura 1

Se Δs < 0, temos v_m < 0  (figura 2). 

Figura 2

No caso em que Δs = 0, resulta v_m = 0 (figura 3)

Figura 3

Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/h
Sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :
1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/h

Vamos analisar alguns exemplos:

Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outro ônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cinco horas. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.

Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar a trajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).

Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído o marco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeiro caberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.

Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, o primeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-São Paulo.

Veículo 1 => São Paulo-Rio

Espaço da partida s₁ = 0 (partiu da origem do espaços, km 0)
Espaço da chegada s₂ = 400 km
Variação de espaço: Δs = s₂ - s₁ = 400 km – 0 = 400 km
Duração da viagem Δt = 5 h
Cálculo da velocidade₂escalar média v_m
v_m =  Δs/Δt  => v_m = 400 km/5 h => v_m = 80 km/h

Veículo 2 => Rio – São Paulo

Espaço da partida s₁ = 400 km
Espaço da chegada s₂ = 0
Variação de espaço: Δs = s₂ - s₁ = 0 - 400 km = -400 km
Duração da viagem  ∆t = 5 h
Cálculo da velocidade escalar v_m
v_m =  Δs/Δt => v_m = -400 km/5 h => v_m = -80 km/h

Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidade escalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.

Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo e orientando a trajetória de São Paulo para o Rio.

Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada, chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média do ônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em 6,5 horas?

Espaço da partida s₁ = 0
Espaço da chegada s₂ = 260 km
Variação de espaço: Δs = s₂ - s₁ = 260 km - 0 = 260 km
Duração da₁viagem - Intervalo de tempo (∆t) => ∆t = 6,5 h
Cálculo da velocidade escalar v_m
v_m =  Δs/Δt => v_m = 260 km/6,5 h => v_m = 40 km/h

Observação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto como origem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições inicial e final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.

No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entre São Paulo e Resende resultou em 40 km/h.

Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajeto encontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende as distâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a uma velocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é a velocidade escalar média definida em Física.

Algumas considerações:

1) Quando, num determinado percurso, o móvel não inverte o sentido do movimento e se desloca no sentido em que a trajetória foi orientada, a distância efetivamente percorrida (d) e a variação de espaço (Δs) são numericamente iguais.

2) No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes da partida e da chegada.

Veja este exemplo:

Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às 13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante uma hora.

Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o que aconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partida e a chegada.

A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantes de partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda que o almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!

Animação:
Velocidade escalar média
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Velocidade escalar instantânea:

A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida como sendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo Δt extremamente pequeno, com Δt tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.

O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica a velocidade do carro em cada instante.

Exercícios Básicos

Exercício 1:
Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalar média do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.

Resolução:

Como o atleta percorre 100 m sempre no mesmo sentido e, vamos admitir, no sentido de orientação da trajetória, concluímos que a variação de espaço coincide com a distância percorrida.

Da definição de velocidade escalar média, vem:

v_m = Δs/Δt => v_m = 100 m/10 s => v_m = 10 m/s.

Sabemos que 1m/s corresponde a 3,6 km/h. Logo, 10 m/s correspondem a 36 km/h.

Resposta: 10 m/s e 36 km/h

Exercício 2:
A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quanto tempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?

Resolução:

Vamos considerar que a caminhada ocorre sempre no mesmo sentido e no sentido que a trajetória foi orientada. Nestas condições, a variação de espaço coincide com a distância percorrida pela pessoa.

v_m = Δs/Δt => 1,5 = 3000 m/Δt => Δt = 2000 s = 33min 20s

Resposta: 33min 20s

Exercício 3:
É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t², sendo o espaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidade escalar média do móvel entre os instantes:

a) 1 s e 2 s
b) 2 s e 4 s
c) 5 s e 6 s

Resolução:

t₁ = 1 s => s₁ = 8 - 6.1 + (1)² => s₁ = 3 m
t₂ = 2 s => s₂ = 8 - 6.2 + (2)² => s₂ = 0
t₃ = 3 s => s₃ = 8 - 6.3 + (3)² => s₃ = -1 m
t₄ = 4 s => s₄ = 8 - 6.4 + (4)² => s₄ = 0
t₅ = 5 s => s₅ = 8 - 6.5 + (5)² => s₅ = 3 m
t₆ = 6 s => s₆ = 8 - 6.6 + (6)² => s₆ = 8 m

Para visualizarmos as posições ocupadas pelo móvel nos diversos instantes, vamos considerar a trajetória retilínea. Temos:

Cálculo das velocidades escalares médias:

a) v_m =  Δs/Δt = (s₂-s₁)/(t₂-t₁) => v_m = (0-3)/(2-1) => v_m = -3 m/s
b) v_m =  Δs/Δt = (s₄-s₂)/(t₄-t₂) => v_m = (0-0)/(4-2) => v_m = 0
c) v_m =  Δs/Δt = (s₆-s₅)/(t₆-t₅) => v_m = (8-3)/(6-5) => v_m = +5 m/s

Respostas: a) -3 m/s; b) 0; c) +5 m/s 

Exercício 4:
A distância entre as cidades de Goiânia e de Caldas Novas é de 169 km. Um ônibus parte de Goiânia às 13h e chega à cidade de Caldas Novas às 15h10min, tendo feito uma parada de 10min num posto de abastecimento.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse trajeto?

Resolução:

Temos: Δs = 169 km e Δt = 15h10min - 13h = 2h10min => 2h + 1/6h => Δt = 13/6h 
v_m =  Δs/Δt = 169 km/(13/6) h => v_m = 78 km/h

Observação: No cálculo de Δt não devemos subtrair os 10 minutos referente à parada. Para determinar a velocidade média devemos conhecer, além da variação de espaço, os instantes da partida e o de chegada. 

Resposta: 78 km/h 

Exercício 5:
Numa viagem de João Pessoa a Cabedelo, uma moto desenvolve a velocidade escalar média de 80 km/h até a metade do percurso e de 60 km/h na metade seguinte.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pela moto de João Pessoa a Cabedelo?

Resolução:

Vamos indicar por d a distância de João Pessoa até o ponto médio da trajetória.
No segundo trecho (do ponto medo até Cabedelo) a distância a ser percorrida é também d.
O primeiro trecho será percorrido no intervalo de tempo d/80 e o segundo trecho, no intervalo de tempo d/60.
O tempo total de percurso será a soma desses dois valores:

Δt = (d/80) + (d/60) => Δt = 7d/240
 
A distância total a ser percorrida é 2d: Δs = 2d.

Dividindo a distância total a ser percorrida (que é 2d) pelo tempo total (7d/240) encontramos a velocidade escalar média no percurso todo:

v_m = Δs/Δt = 2d/(7d/240) = 480/7 => v_m ≅ 68,6 km/h

Resposta: ≅ 68,6 km/h

Exercício 6:
A função horária da velocidade de um móvel é dada por v = 5 - 2t, para v em m/s e t em s. Determine:
a) a velocidade do móvel nos instante 0 e 2 s.
b) em que instante a velocidade escalar do móvel se anula?

Resolução:

a)
t = 0 => v = 5 – 2 x 0 => v = 5 m/s
t = 2 s => v = 5 – 2 x 2 => v = 1 m/s

b)
v = 0 => 0 = 5 – 2.t => t = 2,5 s

Respostas:
a) t = 0 => v = 5 m/s; t = 2 s => v = 1 m/s
b) t = 2,5 s  

Exercícios de Revisão 

Revisão/Ex 1: 
(PUC-RIO)
Uma pessoa caminha sobre uma estrada horizontal e retilínea até chegar ao seu destino. A distância percorrida pela pessoa é de 2,5 km, e o tempo total foi de 25 min. Qual o módulo da velocidade media da pessoa?

(A) 10 m/s
(B) 6,0 km/h
(C) 10 km/h
(D) 6,0 m/s
(E) 10 km/min
 
Resolução:

v_m = Δs/Δt => v_m = 2,5 km/25 min = 0,1 km/min = 0,1 km/(1/60)h => 
v_m= 6,0 km/h

Resposta: B

Revisão/Ex 2: 
(FATEC-SP)
Isabela combinou de se encontrar com seu primo Mateo no ponto do ônibus. Ela mora a 1 km do ponto, e ele a 2,5 km do mesmo ponto de ônibus, conforme figura a seguir.

Mateo ligou para Isabela e avisou que sairia de casa às 12h 40min. Para chegar ao local marcado no mesmo horário que seu primo, Isabela deve sair de sua casa aproximadamente às

a) 13h 00min.            b) 13h 05min.            c) 13h 10 min.
d) 13h 15min.            e) 13h 25min.

Considere que ambos caminhem com a mesma velocidade em módulo de 3,6 km/h.

Resolução:

Cálculo do intervalo de tempo gasto por Isabela para ir de sua casa ao ponto de ônibus:

v_m = Δs/Δt => 3,6 km/h = 1 km/Δt => Δt = (1/3,6)h = (1/3,6).3600 s
Δt = 1000 s 

Cálculo do intervalo de tempo gasto por Mateo para ir de sua casa ao ponto de ônibus:

v_m = Δs/Δt => 3,6 km/h = 2,5 km/Δt => Δt = (2,5/3,6)h = (2,5/3,6).3600 s
Δt = 2500 s 

Para chegarem juntos ao ponto de ônibus:

Isabela deve sair 2500 s – 1000 s = 1500 s = 25 min depois de Mateo. 
Logo, Isabela deve sair às 12h 40min + 25 min = 13h 05min

Resposta: b

Revisão/Ex 3:
Um objeto se desloca de um ponto A para um ponto B. Durante a metade do tempo do trajeto, o objeto se desloca com velocidade V, e a outra metade com velocidade V'. Assinale a alternativa que expressa a velocidade média desse objeto em todo o deslocamento.

A) V + V'
B) V.V'/2.(V + V')
C) 2.[V.V'/(V + V')]
D) 2.(V + V')
E) (V + V')/2 

Resolução:

Seja Δt o intervalo de tempo gasto em cada parte do trajeto. Na primeira parte o objeto percorre a distância V.Δt e na segunda parte, V’.Δt. A velocidade média no percurso todo será:

v_m = Δs/Δt => v_m = (V.Δt + V'.Δt)/2.Δt => v_m = (V + V')/2

Resposta: E

Revisão/Ex 4:
(UEFS)
Na navegação marítima, a unidade de velocidade usada nos navios é o nó, e o seu valor equivale a cerca de 1,8 km/h. Um navio se movimenta a uma velocidade média de 20 nós, durante uma viagem de 5 h.
Considerando-se que uma milha náutica equivale, aproximadamente a 1800,0 m, durante toda a viagem o navio terá percorrido, em milhas marítimas,

A) 05                         C) 20                         E) 140
B) 10                         D) 100 

Resolução:

v_m = Δs/Δt => v_m = 20.1,8 km/h = Δs/5 h => 
Δs = 100.1,8 km = 100.1800 m

Número de milhas: 100.1800/1800 = 100 milhas

Sabendo-se que um nó equivale a uma milha por hora, podemos resolver o exercício diretamente:

v_m = Δs/Δt => 20 milhas/h = Δs/5 h => Δs = 100 milhas 

Resposta: D

Revisão/Ex 5
(UFGD)
"A observação foi feita por físicos do Ópera, um dos experimentos em andamento no Centro Europeu de Pesquisas Nucleares (Cem), localizado entre a Suíça e a França. Eles lançaram os neutrinos do Cem em direção ao Laboratório Nacional Gran Sasso, na Itália.
Ao percorrer a distância de 730 km por baixo da terra, essas partículas chegaram ao seu destino 60 nanossegundos (ou 60 bilionésimos de segundo) antes do que deveriam ter chegado caso tivessem respeitado o limite da velocidade da luz.
Os resultados foram recebidos com bastante ceticismo pela comunidade científica internacional. Afinal está em jogo uma teoria que vem sencdo confirmada por evidências há mais de cem anos. E, menos de um dia depois do anúncio, já se pode ver na internet uma 'chuva' de críticas aos pesquisadores e à forma como os resultados foram divulgados. As reações tem sido, em muitos casos, bastante acaloradas." (Adaptado)

Suponha que um feixe de luz e um feixe desses neutrinos partam do Cem em um mesmo instante. Com auxílio das informações desse texto, calcule a que distância do Laboratório Nacional de Gran Sasso estará o feixe de luz no momento em que o feixe de neutrinos for detectado, considere a velocidade da luz nessa trajetória como sendo 300 000 km/s.

(A) 18 km
(B) 4,5 m
(C) 18 m
(D) 1,2 km
(E) 1,8 km 

Resolução:

A distância entre a posição do feixe luz ao Laboratório Nacional Gran Sasso, no instante em que o feixe de neutrinos foi detectado é calculada levando-se em conta que a luz gasta para atingir o laboratório 60.10^-9 s, com velocidade 3.10⁵ km/s:

v_m = Δs/Δt => 3.10⁵ = Δs/60.10^-9 => Δs = 3.10⁵.60.10^-9 =>
Δs = 180.10^-4 km => Δs = 18 m 

Resposta: C