Calculando velocidade e aceleração escalares por derivada
Borges e Nicolau
A velocidade escalar média é dada por:
Para determinarmos a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s1, podemos escolher s2 cada vez mais próximo de s1 e calcular os quocientes Δs/Δt.
À medida que s2 fica mais próximo de s1, diminui a variação de espaço
Δs = s2 – s1, assim como o intervalo de tempo Δt = t2 – t1.
Quando t2 tende a t1, isto é, Δt tende a zero, a variação de espaço
Δs = s2 – s1 também tende a zero. Porém o quociente Δs/Δt não é necessariamente pequeno, assumindo um determinado valor limite. Esse valor limite é a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s1, ou seja, é a velocidade escalar no instante t1. Assim:
Δs = s2 – s1 também tende a zero. Porém o quociente Δs/Δt não é necessariamente pequeno, assumindo um determinado valor limite. Esse valor limite é a velocidade escalar instantânea na posição cujo espaço é s1, ou seja, é a velocidade escalar no instante t1. Assim:
A velocidade escalar num instante t é o valor limite a que tende Δs/Δt, quando Δt tende a zero. Representa-se por:
O limite de Δs/Δt quando Δt tende a zero recebe o nome de derivada do espaço em relação ao tempo e indica-se por ds/dt. Portanto,
v = ds/dt.
A derivada em relação ao tempo de s = m.tn é v = n.m.tn-1, isto é, a partir de s = m.tn obtemos diretamente v por meio da seguinte regra: multiplica-se o expoente n pelo coeficiente m de tn e subtrai-se uma unidade do expoente n.
A derivada de s = constante é v = 0. Portanto, a derivada de uma constante é nula.
Por exemplo, considere a função horária dos espaços de um móvel:
s = 4 + 5.t + 3. t2 (SI)
Vamos derivar e obter a função horária da velocidade escalar:
v = 0 + 1.5.t1-1 + 2.3.t2-1
v = 5 + 6t (SI)
α = dv/dt
A aceleração escalar α num certo instante é a derivada da velocidade escalar:
α = dv/dt
No exemplo anterior, temos v = 5 + 6t (SI). Portanto, por derivada obtemos:
α = o + 1.6.t1-1
α = 6 m/s2
Exercícios básicos
Exercício 1
Dada a função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:
a) s = 5 + 4t4 + 2t3 - 7t2 + 10t
b) s = 12.t3
c) s = -6 + 4t + 2t2
d) s = 5 + 4t
Exercício 2
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 2t2 (SI). Determine a velocidade escalar e a aceleração escalar do móvel no instante t = 1s.
Exercício 1
Dada a função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:
a) s = 5 + 4t4 + 2t3 - 7t2 + 10t
b) s = 12.t3
c) s = -6 + 4t + 2t2
d) s = 5 + 4t
Exercício 2
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 2t2 (SI). Determine a velocidade escalar e a aceleração escalar do móvel no instante t = 1s.
Exercício 3
O espaço de um móvel varia com o tempo segundo a função:
s = 5 + 6t - (5/2)t2 + (1/3)t3 (SI). Em que instantes a velocidade escalar se anula?
s = 5 + 6t - (5/2)t2 + (1/3)t3 (SI). Em que instantes a velocidade escalar se anula?
Nenhum comentário:
Postar um comentário