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Campo Magnético de Indução (B) para Espiras “Poligonais” Regulares e Espiras Circulares.

Professor Carlos Magno Torres
Nas situações que nos propomos estudar, vamos utilizar a expressão

|Bp| = (μ.i/4πd) . (cos θ1 + cos θ2)

que calcula a intensidade do campo magnético de Indução B gerado por uma corrente elétrica de intensidade i, que percorre um trecho retilíneo de comprimento L de um condutor, em um ponto P a uma distância d desse trecho (veja figura).

A dedução dessa expressão é encontrada em muitos dos livros texto de Física para cursos superiores de engenharia e ciências exatas, e requer conhecimentos de cálculo diferencial e integral para se chegar a ela. Nós vamos apenas usá-la para obter os resultados que nos interessam.

Considere que o ponto P seja o centro de uma circunferência de raio r que circunscreve uma espira de n lados iguais, percorrida por uma corrente elétrica de intensidade i. Veja a figura a seguir.

(1) No triângulo APB indicado na figura, temos:

• 2θ + (ângulo central APB) = π rad ⇒

2θ = π - 2π/n ⇒ θ = π/2 - π/n;
• d/r = sen θ ⇒ d = r · sen θ;
• sen θ = sen (π/2 - π/n) = cos (π/n) e 

cos θ = cos (π/2 - π/n) = sen (π/n)

(2) Pela expressão dada acima, temos:

Bp = (μ.i/4πd) . (cos θ + cos θ) = (μ.i/4πd) . 2cos θ (devido a cada lado da espira)

e

Bp(total) =  n.(μ.i/4πd) . 2cos θ (devido aos n lados iguais da espira)
⇒ Bp(total) =  n.[(μ.i/4πr.sen θ)]. 2cos θ
⇒ Bp(total) =  n.[(μ.i/2πr.cos (π/n)]. sen (π/n)
⇒ Bp(total) =  n.(μ.i/2πr).tg (π/n) ou  Bp(total) =  (μ.i/2r) . [tg(π/n)]/(π/n).

Agora vamos calcular o quociente [tg(π/n)]/(π/n) para alguns valores de n. 

1– Espira triangular (n = 3)
[tg(π/3)]/(π/3) = 1,6539866...

2 – Espira quadrada (n = 4)

[tg(π/4)]/(π/4) = 1,2732395...

3 – Espira hexagonal (n = 6)

[tg(π/6)]/(π/6) = 1,1026577...

4 – Espira de dez lados (n = 10)

[tg(π/10)]/(π/10) = 1,0342515...

5 – Espira de 100 lados (n = 100)

[tg(π/100)]/(π/100) = 1,0003291...

6 – Espira de mil lados (n = 1000)

[tg(π/1000)]/(π/1000) = 1,00000328...

Fazendo-se n = 100.000, obtemos o valor 1,00000000003...!

Como podemos ver, à medida que n cresce o quociente [tg(π/n)]/(π/n) vai se aproximando cada vez mais de 1. Assim, quando tivermos n muuuuuuuuuito grande, dizemos que n está tendendo ao infinito (n → ∞), a espira vai tendendo à forma circular. Nesse limite o valor de BP(total) fica:

Bp(total) =  μ.i/2r . 1,000... ⇒ Bp(total) =  μ.i/2r. 

Essa é a expressão que dá o valor da intensidade do campo magnético de indução no centro de uma circular de raio r percorrida por uma corrente elétrica de intensidade i, que encontramos nos livros do ensino médio.