Lançamento Oblíquo

Alcance Máximo

Professor Carlos Magno Torres
Nos livros de Física do ensino médio há a demonstração de que o alcance horizontal de um lançamento oblíquo, livre da influência do ar, tem valor máximo quando o ângulo de elevação é igual a 45°. Para isso ocorrer, o projétil lançado deve "pousar" no mesmo nível do ponto de lançamento. Veja a figura 1.

Mas, ... e se o projétil for lançado de um ponto acima do plano horizontal que contém o ponto de retorno, como na figura 2?

Será que, com h ≠ 0, θ = 45° ainda dará o alcance máximo?

Essa é a situação que ocorre em certos esportes olímpicos como o arremesso de dardo ou o arremesso de peso. O atleta lança esses objetos mais ou menos da altura dos seus ombros, digamos 1,50 m, e eles caem ao solo, a uma certa distância. Vence o atleta que conseguir a maior distância entre o ponto de contato do objeto com o solo e o ponto de lançamento. Vamos investigar essas situações (h ≠ 0). Dá um pouco de trabalho, mas é instrutivo.

Consideraremos conhecidos os valores v0, da velocidade inicial, g, da aceleração da gravidade local e θ, do ângulo de lançamento. Assim, as funções horárias que descrevem os movimentos horizontal e vertical do projétil, em relação aos
eixos x e y, fixos no solo plano e horizontal, são:

x = v0 · cos(θ) · t e y = h + v0 · sen(θ) · t – 1/2 · g · t²

Assim, quando o projétil chegar ao solo, teremos:

x = D (alcance horizontal), y = 0 (projétil no solo) e t = T (duração do movimento).

Portanto: (1) T = D/[v0 · cos(θ)] e (2) 0 = h + v0 · sen(θ) · T – 1/2 · g · T²  

Substituindo-se na equação (2) o valor de T dado na equação (1) obtemos, após algum trabalho algébrico (método de Bhāskara):

D = v0 · cosθ/g . (v0 · senθ) + √[(v0 · senθ)² + 2 . g . h] (3)

Observe que, se fizermos h = 0 na expressão (3) acima teremos: 

D = v0 · cosθ/g . (v0 · senθ) + √[(v0 · senθ)² + 2 . g . (0)] ⇒
D = v0 · cosθ/g . [2. v0 · senθ] ⇒ D = v0²/g . sen(2θ), cujo valor máximo é (v0²/g) , que ocorre para 2θ = 90° ou θ = 45°.

A partir da expressão (3) acima, e com mais esforço ainda (cálculo diferencial), pode-se demonstrar que:

(I) o ângulo (θmáx) para o qual o alcance é máximo é tal que:

tgθmáx = v0/√(v0² + 2gh)
 
(II) o alcance máximo (Dmáx) vale:

Dmáx = v0/g . √(v0² + 2gh)

Observe que, se fizermos h = 0, teremos:

(III) tgθmáx = v0/√[v0² + 2g(0)] = 1 ⇒ teta máx = 45°. Como deve já sabemos. 
(IV) Dmáx = v0/g . √[v0² + 2g(0)] ⇒ Dmáx = v0²/g, valor já obtido diretamente da expressão (3).

Vamos voltar aos atletas de arremesso de dardos. Para eles podemos adotar
h ≈ 1,5 m, v0 ≈ 30 m/s e g = 9,8 m/s². Assim:

tgθmáx = v0/√(v0² + 2gh) = 30/√[(30)² + 2. 9,8 . 1,5] ⇒
tgθmáx ≈ 0,9841 ⇒ θmáx ≈ 44,5°. Sim, a diferença é pequena, mas existe.

Se h assumir valores muito maiores, o valor de θmáx se afasta muito de 45° (para um mesmo valor de v0)! Veja:

(a) h = 5,0 m ⇒ θmáx ≈ 43,5°;
(b) h = 10 m ⇒ θmáx ≈ 42,2°;
(c) h = 50 m ⇒ θmáx ≈ 34,7°, usando v0 ≈ 30 m/s.

Bem..., então é isso: "alcance máximo com 45° só se o ponto de retorno ao solo estiver no mesmo nível do ponto do lançamento."

Abraços à galera.